По-русски это называется "многообразие". Это топологическое понятие. Своего рода прообраз пространства.
Пространство в математике вовсе не обязательно что-то такое, что можно описать двумя или тремя (или даже N) декартовыми координатами. Пространством можно назвать любое множество точек, лишь бы там соблюдались определённые и интуитивно понятные правила - например, если две совокупности точек принадлежат такому пространству, то и их объединение, и их пересечение тоже принадлежат этому же пространству. И вместо размерности пространства (числа координат, которые однозначно определяют положение точки в пространстве), там вводится понятие базы.
Чтоб в пространстве существовало понятие расстояния, должна быть задана метрика - некоторое правило, по которому для двух точек пространства однозначно вычисляется параметр, называемый "расстоянием". Что накладывает на пространства определённые ограничения - что ему "можно" и что ему "нельзя". Вот для многообразия этого ещё "нельзя" - в общем случае там определить, что такое расстояние, невозможно.
Ну а если нельзя, но очень хочется? Если простраство ЛОКАЛЬНО, в некоторой окрестности каждой его точки, ведёт себя как евклидово, то есть в нём можно задать метрику и эта метрика в небоьшой окрестности подчиняется теореме Пифагора, то такое топологическое пространство называется манифолдом (многообразием). Локально в таком пространстве даже существуют прямые линии. Самый простой пример многообразия - поверхность Земли. Для небольших участков поверхность можно считать плоской, на ней можно задать декартову систему координат, и в такоей системе расстояние будет вычисляться по теореме Пифагора - карты все в руках держали... И расстояние это будет соответствовать длине отрезка прямой.
Но как только мы "выходим в большой мир" и не ограничиваемся малым участком поверхности, а рассматриваем БОЛЬШОЙ участок, с континент размером, - евклидовость пространства исчезает. Кратчайшее расстояние уже оказывается не прямой линией, а дугой окружности большого круга, и теорема Пифагора больше не работает. В таком пространстве вообще нет прямых линий - вместо них там используется понятие "геодезическая" (прямая - просто частный случай геодезической и возникает тогда, когда метрика - евклидова).
Понятие многообразия играет чрезвычайно важную роль в теоретической физике - ведь в Общей теории относительности выясняется, что с учётом гравитации наше пространство вовсе и не пространство, а многообразие. И что свет распространяется не по прямой, а таки по геодезической.
В общем, если захотите подробностей, найдите книжку Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ", там это всё излагается от азов.
