Опрокидывание ванночки произойдёт при достижении такого угла (α), когда отвесная линия, проходящая через центр тяжести жидкости пройдёт через линию касания ванночки с краем стола.
Поскольку плотность жидкости не изменяется, а также не меняется при наклоне ванночки размер объёма жидкости, перпендикулярный плоскости чертежа, то вместо массы (и объёма жидкости) можно оперировать размерами (площадями), непосредственно наблюдаемыми (или начерченными) на плоском чертеже.
<hr />
Обозначим вершины фигуры, образуемой жидкостью, буквами ABCD, начиная с левого нижнего угла, и обходя контур фигуры по часовой стрелке. Очевидно, что в исходном положении ABCD - прямоугольник, а в процесс наклона ванночки превращается в прямоугольную трапецию с переменными основаниями AB и CD. Очевидно также, что в исходном положении (в прямоугольнике) AB=CD=5 см, а сумма (AB+CD) равна 10 см и в процессе наклона не изменяется.
<hr />
Обозначим CD=х, тогда AB=(10-х).
Обозначим "центр тяжести" трапеции буквой О, а точку касания ванночкой края стола - буквой М. Как и условливались, ОМ - отвесная линия (перпендикулярная горизонтали).
Высота "центра тяжести" трапеции определяется формулой y=(h/3)*(2b+a)/(b+a), где y - расстояние от "центра тяжести" до верхнего основания, h - высота трапеции, а - меньшее основание, b - большее основание. Кроме того, центр тяжести располагается на линии, соединяющей середины оснований.
Конкретно в нашей задаче меньшее основание CD=х, большее основание AB=(10-х), высота трапеции AD=10 (так как трапеция прямоугольная), и у=DF. Подставляя введённые и вычисленные обозначения получим: DF=(10/3)*(20-х)/10=(20-х)/3.
По условию АМ=AD/3, т.е. АМ=10/3, МD=20/3, тогда MF=МD=DF=20/3-(20-х)/3=х/3.
<hr />
Из точки D проведём горизонтальную прямую до пересечения с АВ в точке N. Получаем параллелограмм NBCD (NB=CD=x) и прямоугольный треугольник AND. AN=АВ-ВN=(10-x)-x=(10-2x).
Через точку О проведем прямую, параллельную основаниям трапеции, пересекающую ВС в точке Е и АD в точке F. Поскольку "центр тяжести" (точка О) лежит на прямой, соединяющей середины оснований, то эта прямая делит пополам и отрезок и EF, параллельный основаниям. Отсюда EO=OF.
Точку пересечения EF и ND обозначим точкой К. Тогда ЕF=EK+KF.
<hr />
Треугольники AND и FKD - подобны, Отсюда FK=AN*DF/AD=(10-2x)*(20-x/3)/10=(2x^2-50x+200)/30.
Тогда EF=EK+KF=x+(2x^2-50x+200)/30=(2x^2-20x+200)/30, а OF=EF/2=(x^2-10x+100)/30.
Угол ADN равен искомому углу (α), и tg(α)=(10-2x)/10. С другой стороны, угол MOF равен углу ADN (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), значит угол MOF тоже равен углу (α), и
tg(α)=MF/OF=(x/3)/((x^2-10x+100)/30)=10x/(x^2-10x+100).
Приравнивая два выражения для tg(α) получаем: (10-2x)/10=10x/(x^2-10x+100).
После преобразований получается уравнение третьей степени: x^3-15x^2+200x-500, которое в интервале 0<=x<=10 имеет один корень х=3,058542795, откуда tg(α)=0,388291441, а сам угол α=0,37037 радиан или α=21,22°.
