Искренне, неискренне - это наречия. Не искренне - частица НЕ + наречие.
Возможны обе формы написания частицы НЕ, но слитная форма встречается чаще (частотность 10:1)
1) Слитное написание приставки НЕ
Неискренне, утверждение, возможна замена синонимом. А синонимов у слова "неискренне" много: фальшиво, притворно, наигранно, неестественно, лицемерно.
Примеры: Стихи звучали холодно, неискренне. Она тоже плакала, но неискренне. Он громко и неискренне восхищался моими работами.
2) Раздельное написание частицы НЕ
Не искренне, отрицание, раздельное написание частицы НЕ. Это может быть просто отрицание, отрицание с противопоставлением, усилительные конструкции (нисколько не искренне), риторические вопросы (разве не искренне).
Примеры: Я не мог понять, искренне это было сказано или не искренне. Значит, он поступал не искренне, а из желания угодить кому-то. Слова его звучали совсем не искренне. А разве не искренне он говорил об этом!