Можно было бы предположить, что в сочетании "не весть что" использовано существительное "весть" (сообщение, известие). Тогда отрицательную частицу "не" пишем раздельно, если в предложении будет иметься или подразумеваться противопоставление.
Но такое сочетание "не весть что", с сущ. "весть", практически не встречается; сложно построить грамматически правильное предложение именно с таким сочетанием.
<hr />
"Весть" может являться старой формой 3-го лица ед. ч. глагола ведать. Тогда отрицательную частицу "не" с глаголом "весть" пишем раздельно.
Сочетание "не весть что" с глаголом "весть" можно употребить, если использовать запятую, а слово "что" будет союзом:
Не весть, что делает. (Иначе: Не ведает, что делает).
<hr />
А вот "неве́сть" – это уже наречие и обычно употребляется со словами: кто, что, какой, когда, куда, где, почему и т. п.
Означает:
Наречие "неве́сть" пишется с "не" слитно в сочетании с местоимениями и местоименными наречиями:
невесть что, невесть кто, невесть где, невесть когда, невесть зачем и т. п.