Действительно, глаголы "жить" и "проживать" -- однокоренные и имеют практически одно и то же лексическое значение. Так какой глагол все-таки лучше употреблять просто в речи, не в документах, а именно в живой речи?
Одно из значений глагола "проживать" -- это "жить и быть прописанным где-нибудь, в каком-то определённом месте".
Поэтому обычно выдаются справки, в которых пишется, например: "Справка, удостоверяющая, что гражданка Кузнецова С.П. проживает в доме № 19 по улице Менделеева".
Это образец делового, канцелярского стиля, поэтому слово "проживать" так и выглядит, как канцелярско-деловое.
Не рекомендуется его употреблять в литературной и бытовой речи вместо глагола "жить".
Не следует говорить: "Мои родители проживают в Новокузнецке" и "Моя дочь проживает в новом доме".
Лучше сказать просто: "Мои родители живут там-то, а дочь живет в новом доме".