Прежде всего из определения, что основанием логарифмов могут быть только положительные числа, и основание логарифма не может быть равно 1, получаем ОДЗ х=/=0 и x^2=/=1 (x=/=1 и х=/=-1).
Теперь вместо 1 в правой части пишем logx^2(x^2).
Получаем: logx^2(x-1)^2 <= logx^2(x^2).
Получаем две системы:
{x^2>1,
{(x-1)^2<=x^2;
и
{0<x^2<1,
{(x-1)^2>=(x^2);
Решаем первую систему:
{x^2>1,
{(x-1)^2<=x^2;
решаем второе неравенство
(x-1)^2-(x^2)<=0,
(x-1-x)*(x-1+x)<=0,
-1*(2x-1)<=0,
2x-1>=0,
2x>=1,
x>=1/2,
С учётом первого уравнения системы и ОДЗ получаем x>1.
Решаем вторую систему:
{x^2<1,
{(x-1)^2>=(x^2);
решаем второе неравенство:
(x-1)^2-(x^2)>=0,
(x-1-x)*(x-1+x)>=0,
-1*(2x-1)>=0,
2x-1<=0,
2x<=1,
x<=1/2;
С учётом первого неравенства и ОДЗ получаем два интервала:
-1<x<0
и 0<x<=1/2.
Таким образом, полное решение состоит из трёх интервалов:
-1<x<0; 0<x<=1/2; x>1.
<hr />
Очень наглядно графическое представление решения систем:
{x^2>1,
{(x-1)^2<=x^2;
и
{0<x^2<1,
{(x-1)^2>=(x^2);
На координатной оси чертим две параболы y=x^2 и y=(x-1)^2 Они пересекаются в точке (1/2, 1/4). Правее этой точки (и в самой этой точке) выполняется второе неравенство первой системы, а левее этой точки - второе неравенство первой системы.
Проведем вертикальные прямые х=-1 и х=1. Они разделят всю область значений на левую (x<-1) и правую (x>1), которые обе соответствуют условию x^2>1 (первое неравенство первой системы) и среднюю (-1<x<1), которая соответствует условию x^2<1 (первое неравенство второй системы).
Значит решения первой системы могут лежать только в правой части области значений, т.е. x>1,
а решения второй системы в средней части, т.е. -1<x<=1/2. Но не забудем исключить точку х=0. и получаем два отрезка -1<x<0 и 0<x<=1/2.
