"Зачем" - местоименное наречие (пишется слитно).
"За чем" - местоимение с предлогом (пишется раздельно).
Примеры предложений:
Зачем меня вызвали на работу в выходной?
Не понимаю, зачем мне нужно выполнять эту пустую работу.
Учительница объяснила ученикам, зачем им необходимо знать правила русского языка.
В зависимости от того, наречие в тексте или местоимение с предлогом, может меняться смысл предложения:
Зачем мы пойдем сегодня в лес?
За чем мы пойдем сегодня в лес?
Зачем ты ходила в супермаркет?
За чем ты ходила с супермаркет?
За чем ты спрятала мой подарок, я все равно его найду, лучше скажи сразу.
Мы точно не решили, за чем конкретно пойдем в магазин.
Он забыл, за чем нужно было съездить на дачу, и привез всего понемногу.