Ни в коей мере или "не в коей мере"?
Выбор не или ни в написании с местоимением "кой" (устарелая форма местоимения "какой") банально зависит от ударения.
Поставим ударение в этой группе отрицательной частицы ни и местоимения с предлогом в:
ни в коей (мере).
Приставка-предлог ни является безударной как в начальной форме местоимения, так и в падежных формах, сравните
никто - ни у кого, ни с кем, ни о ком;
ничто - ни с чем, ни о чём.
А не, напротив, является ударным, сравним:
некто - не у кого, не с кем, не о ком;
нечто - не у чего, не с чем, не о чем.
Поэтому выберу написание ни в словосочетании ни в коей мере.