В общем случае верным написанием будет Егорович, если отца звали Егор.
Но
В российской практике мы сталкиваемся с правилом, что человек может сам выбрать, как ему правильно писать фамилию, имя и отчество. Вот к примеру фамилии Фёдоров и Федоров являются разными. Хоть они произносятся одинаково, но ни один нотариус без дополнительных справок не подтвердит, что это один и тот же человек.
Так же и с отчеством Егорович. Если человек захочет, то будет Егорьевич и никто ему ничего не скажет. Главное, что необходимо все документы с первого именовать именно так.
Очень часто с отличиями от общепринятых правил пишутся ФИО у наших иммигрантов. Самые любопытные случаи приходят из Армении, где если отца звали Серёжа, отчество ребёнка будет не Сергеевич, а Серёжаевич или Серёжевич, как получится.
С именами не так любопытно, но опять же мы сталкиваемся с тем, что имя пишется так, как хочет его владелец. Например у Украинцев принято имя Олександер, при получении русских документов он может стать как Александром или Олександром, так и остаться Олександером. Белоруска Сняжана может стать Снежаной, Снеженой или остаться Сняжаной.
В практике перевода ФИО мы пришли к тому, что как у человека написано имя в миграционной карте, так и правильно. Иначе это может привести к серьёзным бюрократическим ошибкам.
Всё вышесказанное относится к именительному падежу. Склонение по падежам осуществляется по правилам русского языка, и если человек говорит, что вопреки правилам его фамилия склоняется / не склоняется, то это уже признак неграмотности.
Узнать, как правильно пишется ФИО конкретного человека можно только лично его об этом спросив.
