Наверх и на верх пишется слитно и раздельно в зависимости от того, к какой части речи принадлежит слово.
Выясним, когда пишется "наверх" слитно, а когда "на верх" - раздельно.
Слово "верх" обладает общим грамматическим значением предметности и отвечает на вопрос что?
По этим грамматическим признакам установим, что это имя существительное.
Оно имеет падежную форму винительного падежа с предлогом "на":
Прикрепим флажок (на что?) на верх палатки.
К существительному можно задать падежный вопрос, а также подобрать определение в виде местоимения. прилагательного, порядкового числительного:
на самый верх;
на этот верх;
на синий верх.
Эти способы докажут, что "на" - это самостоятельное слово - предлог, который пишется с существительным раздельно.
Немаловажно, что у существительного имеется зависимое слово:
на верх (чей?) палатки.
Отличаем существительное от однокоренного слова, принадлежащего к другой самостоятельной части речи - наречия.
Поднимитесь из трюма корабля наверх.
Поднимитесь (куда?) наверх.
Слово "наверх" не изменяется, отвечает на обстоятельственный вопрос и у него нет зависимого слова. Оно примыкает к глаголу и обозначает признак действия.
По этим грамматическим признакам установим, что это наречие.
Оно образовано с помощью приставки от существительного "верх".
Такие наречия, в составе которых можно увидеть слова "верх", "низ" "зад", "перед", "ширь, "высь", "век" и пр., пишутся слитно с любыми приставками:
пойти назад;
раскинуться вширь;
взлететь ввысь.
Слово "наверх" пишется слитно как наречие.