Question

Задача. Сколько всего яблок было?

Есть одна, большая, куча яблок. Если эту кучу разложить на две равные кучки, то одно яблоко будет лишним, если на три равные кучки, то одно яблоко будет лишним. Если на четыре равные кучки, то одно яблоко будет лишним. Если на пять равные кучки, то одно яблоко будет лишним. Если на шесть равные кучки, то одно яблоко будет лишним. Если на 7 равных кучек, то не останется ни одного яблока. Сколько всего яблок было?

Answer 1

Что яблок 301, это ясно, но как это узнать? Оказывается, несложно.

Если это 1 лишнее яблоко убрать, то оставшиеся яблоки разделятся нацело на 2, 3, 4, 5 и 6.

Самое маленькое такое число - N = 60. Теперь нужно подобрать, чтобы N + 1 делилось на 7.

61 - простое, 121 = 11^2, 181 - простое, 241 - простое, 301 = 7*43 - вот оно!

Следующее такое число будет 301 + 60*7 = 301 + 420 = 721 = 7*103

И дальше они повторяются через 420.

Answer 2

Где-то прямо было подобной задачи решение , а именно :

число яблок равно НОК следующих чисел :

2 , 3 , 4 , 5 , 6 и потом прибавить единицу, но вместе с тем это число должно быть кратно 7.

НОК 2, 3, 4, 5, 6 равно 60. Но 61 не делится на 7.

Числа, которые удовлетворяю кратности 60 : 120, 180, 240, 300 и так далее.

Можно рассмотреть остаток от деления на 7 числа 61 56 делится на 7.

61 = (63-2),(56+5), 181 = (175+6),(182-1), 241=(238+3),(245-4), 301=(+0)(-0),

здесь рассмотрены минус и плюс от ближайших чисел делящихся на семь.И только само число попало в диапазон +0, -0, это число 301.

Можно, конечно и перебором рассмотреть.

Answer 3

301 яблоко. Это число не делится ни на 1,ни на 2,3,4,5,6. А вот на семь если разделить получится по 43 яблоку.

Answer 4

Ответ, который мне прислал impfromliga, сам он не смог выставить ответ, из-за глюка с сайтом.

Вариант с перебором, который предложил Mefody66, в принципе рабочий (программными методами), но это можно решить и аналитически.

Во первых точный ответ на ваш вопрос: Всего в куче было 420*k-119 яблок, для всех натуральных k, т.к. решение имеет бесконечное множество корней.

Для большей однозначности можно было бы добавить в вопрос "сколько яблок в удовлетворяющей условиям куче должно быть минимально"

Математически это можно записать как систему уравнений:

X mod 2 = 1

X mod 3 = 1

X mod 4 = 1

X mod 5 = 1

X mod 6 = 1

X mod 7 = 0

где mod остаток от деления.

X mod 7 = 0 означает что мы ищем число делящееся на 7 нацело

X mod N = 1, где N натуральное от 2 до 6.

Из этого следует: (X - 1) mod N = 0, что означает что мы ищем такое натуральное число предыдущее от которого делиться нацело на 2,3,4,5,6. Как известно минимальное число которое будет делиться на них все это наименьшее общее кратное. Которое находят путем разложения чисел на простые множители и перемножения всех уникальных из них. те. 2*2*3*5 = 60.

Можно заменить в системе группу X mod N = 1 на одно равенство X mod 60 = 1

Таким образом теперь мы ищем все натуральные числа делящиеся на 7, предыдущие от которых делятся на 60. Т.к. числа 60 и 7 взаимно простые период через который будут находиться верные корни на множестве натуральных чисел будет равен произведению 60*7 = 420.

Обобщая вышесказанное нам известно что для некоторых целых x,y верно равенство:

7x -60y = 1

Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида (что бы найти соотношение Безу)

//скобки оставлены для группировки

(-60) = -9*(7) +(3)

(7) = 2*(3) + 1

отсюда:

1 = (7) - 2*(3)

1 = (7) - 2*((-60) - -9*(7))

1 = (7) -2*(-60) -18*(7)

1 = -2*(-60) -17*(7)

x0 = -17, y0 = -2

x= -17 + k*60, y= -2 + k*7, где k любое положительное натуральное, например для k=1:

x1 = 60 - 17 = 43

y1 = 7 - 2 = 5

подставим в формулу 7x -60y = 1

7*43 - 60*5 = 1 //верно!

Из условий задачи нам необходимо найти размер кучи, который мы вычисляли через x, и теперь можем определить как (-17 + 60*k)*7, для натуральных k. Упростим и получим

Ответ: Размер кучи равен 420*k-119, для всех натуральных k.