В слове ПРИЁМЫШ приставка ПРИ означает находиться при ком-то, увеличение, присоединение, ср. приусадебный, приют, приём, приварок, прикуп, прилёт, прилив, примак и др.
ЁМЬ – Корень, означает активное действие свободного (полого) пространства, его способность вбирать, втягивать то, что снаружи. Слова объём, проём, выем, ёмкий образованы от исчезнувшего глагола емати – "брать, вбирать". Исконное значение этого корня – именно активное действие: ёмить, имать, вбирать. Поиск слов, обозначающих действие вогнутого пространства, тягу "снаружи внутрь", приводит нас к древнему славянскому корню "jьmo", "jeti". Первичное значение всех слов с этим корнем – не просто "просторный", "вместительный", но "берущий в себя", "забирающий", "втягивающий".
ПРИЁМЫШ: буквально присоединённый к "в берущую в себя", вобраный в семью, присоединённый к семье.