Слово подстрекатель отвечает на вопрос кто? и называет предмет ( одушевленный ), соответственно, относится с именам существительным.
Это отглагольное существительное, оно образовано от глагола подстрекать при помощи словообразовательног<wbr />о суффикса -тель. Данный суффикс имеет значение, например, рода занятий.
Очевидно, что подстрекатель - это человек, который подстрекает к чему-либо, то есть провоцирует, своими словами или поступками принуждает другого совершить то или иное действие.
Слово подстрекатель носит, пожалуй, негативный оценочный оттенок, то есть подстрекают, как правило, на совершение неблаговидного поступка.
Глагол подстрекать, полагаю, образован от глагола стрекать, который, кроме значения, например, стрекать крапивой, имеет значение убегать. Можно предположить, что ранее значение глагола подстрекать было связано с глаголом стрекать, то есть убегать после совершения плохого поступка во избежание наказания.