Чтобы определить корень в словах дать, давали, вначале выясним, что они обозначают действие и отвечают на вопрос: что делать? что делали?
Это глаголы в разной форме:
дать - инфинитив, о чем ясно подскажет окончание -ть;
давали - форма прошедшего времени глагола "давать" с окончанием -и (давал-а, давал-о) и формообразующим суффиксом -л-, которые не войдут в основу -дава-.
Суффикс -ва- создал этот глагол несовершенного вида.
Общей частью анализируемых слов, как видим, является морфема да-, которую и назовем их корнем. Наш выбор могут подтвердить родственные слова:
воздаяние, данность, приданое, воздаться, отдать.
В итоге запишем морфемный состав этих слов в виде схем:
да-ть - корень/окончание;
да-ва-л-и - корень/суффикс/суффикс/окончание.