Question

Что такое асимптота графика функции? Какие бывают асимптоты?

Что такое асимптота?

Асимптота - это?

Виды и примеры асимптот.

Answer 1

Асимптота это, чаще всего, прямая или кривая линия к которой приближается график данной функции, но никогда не достигает её, а только становится бесконечно близкой. Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Answer 2

Графики некоторых функций могут иметь асимптоты.

Асимптота - это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции, но при этом никогда её не пересекает.

Этот термин произошёл от древнегреческого слова ἀσύμπτωτος - несовпадающий.

**

С асимптотами можно, например, столкнуться при построении гиперболы y = k / x.

В данном случае асимптотами графика функции являются ось абсцисс ОХ и ось ординат ОY.

Это связано с тем, что на 0 делить нельзя - соответственно аргумент функции не может принимать нулевое значение, и также не существует такого аргумента, при котором значение функции было бы нулевым.

<hr />

Виды асимптот

1) Вертикальная асимптота.

Такие асимптоты параллельны оси ОY или, как в случае с графиком y = k / x, совпадают с ней.

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

x = a.

Здесь число a - это значение x, при котором функция y = f(x) не определена.

Вертикальных асимптот может быть несколько, и для них должно выполняться хотя бы одно из 2 равенств:

Например, функция f(x) = 1 / (2x-5) будет иметь асимптоту x0 = 2,5.

**

2) Горизонтальная асимптота.

Такие асимптоты параллельны оси ОX или совпадают с ней.

Уравнение:

y = b.

Здесь b - это число, к которому стремится значение функции y = f(x), когда x стремится к ∞.

То есть

Возьмём для примера функцию f(x) = (2x + 3) / (3x + 4).

Так как

то горизонтальная асимптота будет такой:

y = 2 / 3.

**

3) Наклонная асимптота.

Уравнение наклонной асимптоты имеет следующий вид:

y = kx + b.

Коэффициенты k и b вычисляются так:

Если k = 0, то наклонной асимптоты не будет, а будет горизонтальная.

Пример:

f(x) = (1 - x²) / (x - 1).

Уравнение наклонной асимптоты получится таким:

y = - x - 1.

Answer 3

К ответу Бездельника остаётся только добавить, как искать асимптоты к функциям.

Вертикальные асимптоты - это точки разрыва функции.

Например, значения, при которых знаменатель функции равен 0.

Или 0 под знаком логарифма.

Чтобы найти наклонные и горизонтальные асимптоты на бесконечности, нужно найти пару пределов. Функция имеет вид y(x).

Прямая имеет вид f(x)=k*x+b.

k=lim(x->oo) (y(x)/x)

b=lim(x->oo) (y(x)-k*x)

Сначала находим коэффициент k, потом, зная k, находим свободный b.

Если k=0, то асимптота f(x)=b - горизонтальная.

Если k=/=0, то асимптота наклонная.

Answer 4

Асимптота - это прямая линия (зачастую линия осей координат), относительно которой на постоянное сближение идет график функции. Однако даже несмотря на постоянное приближение, график и асимптота никогда не пересекутся друг с другом, потому как функция стремится в бесконечности с пересечением.

Поэтому даже если мы визуально построим этот график и будем увеличивать масштаб, мы никогда не увидим пересечения. всегда между асимптотой и функцией будет расстояние, даже если оно бесконечно мало.

Answer 5

Асимптота является прямой, график функции которой никогда не пересекает прямую, расположенную на ней. Так является прямой, к с бесконечно близким приближением графика функции и не наличием пересечения. Асимптоты бывают, как вертикальной, так и горизонтальной, наклонной. Если говорить о вертикальной, то они являются параллельными оси ОУ. Уравнение обладает таким видом: x = a.

Что касается Горизонтальной, то асимптоты являются паралельными оси ОХ и совпадают с ней. Уравнение выглядит так: y = b.

Если речь идет о Наклонной асимптоте, то уравнение обладает таким видом:

y = kx + b.