Понятие "ник" происходит от английского слова "nickname", переводимого на русский язык как кличка, прозвище.
Псевдоним в словаре Ефремовой определен в отношении некоторого круга лиц:
"1) Вымышленное имя, которым некоторые писатели, артисты, политические деятели и
т.п. заменяют свое подлинное имя.
2) Лицо, выступающее под таким именем."
Если отбросит этот "круг", то смысл слов "ник" и "псевдоним" очень близок, ник это псевдоним, кличка, прозвище, которым какое-то лицо заменяет свое подлинное имя.
Термин "ник" пришел к нам с приходом компьютерного мира, сетей, форумов, чатов и применим именно в этом мире. Будет не очень красиво писать "Свои произведения они публиковали под ником "Ильф и Петров". В тоже время, в сети принято пользоваться словом ник, и если Вы напишете "отвечая на вопрос пользователя с псевдонимом "artint", я подчеркиваю...", то Вас могут не понять.
Таким образом, по смыслу эти слова схожи. Разница заключается в сферах применения.