Question

Задача. Сколько будет сгибов на листе бумаги сложенным n раз?

Во избежании недопонимания в рассуждениях условимся, что каждый последующий перегиб перпендикулярен предыдущему.

Сгибом следует понимать отрезок, на развернутом листе, расположенный на линии перегиба и ограниченный с двух сторон или краем листа, или перпендикулярными перегибами.

Например: При двух складываниях листа таких сгибов (отрезков) будет четыре.

Answer 1

Если взять утверждение даже легенду, что любой лист бумаги невозможно сложить более 7 раз. Хотя в Разрушителях легенд, они все же смогли его сложить большее количество раз.

То по моим подсчетам вышло 232 сгиба.

Answer 2

Получены ответы по последовательному расчету количества изгибов, а также автором Vasil Stryz­hak предоставлены формулы для расчета числа изгибов для четного и нечетного количества перегибов. На этом можно поставить точку. Но ведь и самому хочется поиграться с этой темой.

Можно предположить, что требуемый результат есть сумма чисел 2 в какой то степени.

Вот эти значения.

1; 4; 10; 24; 52; 112; 232; 480; 976; 1984; 4000; 8064; 16192; 32512; 65152; 130560; 261376; 523264; 1047040; 2095104; 4191232; 8384512; 16771072; 33546240; 67096576; 134201344; 268410880; 536838144; 1073692672; 2147418112

Ряд значений для четных n.

4; 24; 112; 480; 1984 ...

Начнем составлять ряды из максимально возможных чисел и подгонять их под ответ мелкими разрядами.

По сути, это запись десятичного числа двоичным кодом.

Проделаем тоже самое для нечетного числа перегибов.

Ряд значений для нечетных n.

1; 10; 52; 232; 976 ...

Не сложно написать сумму ряда для четных перегибов.

Если мы попробуем этой формулой рассчитать нечетное число перегибов, то всякий раз нам будет немного не хватать значения. Эта недостача тоже выражается в 2 в какой то степени. Добавим ее и получим формулу для нечетных значений.

А теперь для того, чтобы можно было использовать одну формулу, будем обнулять эту добавку при четных значениях перегибов оператором mod.

Формула работает для всех значений перегибов. Но получилось как то горбатенько и душу не радует.

Попробую решить по другому.

Рассмотрим и преобразуем ряд для n=10

Тоже самое проделаем для n=9

Немного отвлечемся. При работе с оператором "Сумма" легко получать ряды целых чисел.

Предположим.

q=j=0;1;2;3;4;5;6;7;­<wbr />8;9

q=9-j=9;8;7;6;5;4;3;2;1;­<wbr />0

А теперь объединим эти две последовательности.

q=max(j,9-j)=9;8;7;6;5;5;6;7;8­<wbr />;9

Данный ряд полностью совпадает со степенями для десяти перегибов. А девятка вместо десятки потому что j начинается с нуля, а не с единицы. Мы должны взять на один член ряда суммы меньше.

Аналогично для нечетных перегибов n=9

q=max(j,8-j)=8;7;6;5;4;5;6;7;8

И опять же ряд совпадает со степенями при n=9

Исходя из проведенных изысканий можно написать единую формулу для расчета как четных, так и не четных перегибов. Только следует заменить n на (n-1)

Вот теперь хорошо. Формула получилась элегантная и интуитивно понятная.

Убедится в правильной работе формул можно перейдя по ссылке.

ССЫЛКА НА РАСЧЕТ

В расчете так же представлены формулы автора Vasil Stryz­hak.

Answer 3

В данной задаче при перегибах листа, количество сгибов будет увеличиваться неравномерно. Я предлагаю использовать для решения задачи следующую формулу.

a = b х 2 + 2 в степени (n:2)

Где а - количество сгибов бумаги

b - количество сгибов в предыдущем перегибании листа

n - количество раз перегиба бумаги.

Степень (n:2) в формуле используется начиная с 4 перегибания листа, берется только целое число 7:2=3,5=3 число после запятой не учитываеться.

например: узнаем количество сгибов при 4 перегибах листа, зная что при трех перегибах их было 10

а = 10 х 2 +2^4:2 = 10 х 2 + 4 = 24

при 5 перегибах а = 24 х 2 + 2^5:2 = 24х2+4 = 52

6 перегибов а= 52х2+2^6:2=104+8=112

7 прегибов а=112х2+8=232

8 перегибов а=232х2+16=480

Недостаток данной формулы вычисления в том что надо знать количество сгибов листа предшествующее искомому. Лучше пока придумать я не смог, придумаю допишу.

Answer 4

Формулу не могу вывести, но общее рассуждение таково:

п=1, будет- 1 отр. +2 листа.

Далее 1 отр. удваивается ,а 2 листа дают 2 отрезка, то есть:

п=2,будет 2 отр. +2 отр. +4 листа =4 отрезка

Теперь удваивается то слагаемое которое не было получено в результате удвоения, то есть второе:

При п=3 будет 2 отр. +2 отр. *2+4 отр( полученные в результате сгиба 4 листов) +8 листов=10 отрезков.

Далее будут удваиваться первое и третье слагаемые, п=4,то

2*2+4+4*2+8 отр. ( эта 8 получена как результат сгибание 8 листов) +16 листов=24 отрезка.

Далее будут удваиваться из п=4 второе и четвёртое слагаемые, а первое и третье не удваиваются, и ещё 16 листов дадут 16 отрезков, будет при п=5:

4+4*2+8+8*2+16=52 отрезка и 32 листа.

Итак имеем поочерёдно удваивание то одних, то других слагаемые и каждый раз получающееся количество листов даёт такое же количество отрезков

Ещё раз про удвоение:

Допустим при каком-то п удвоились какие-то слагаемые, то при (п+1) будут удваиваться те слагаемые, которые не удваивались при п=п

То есть теоретически вроде могу подсчитать, но как записать формулу в которой поочерёдное удвоение слагаемых

Answer 5

Например, сложим лист четыре раза. Лист разделится изгибами на 16 клеток. В каждом горизонтальном ряду на 4 клетки приходится по три вертикальных изгиба. Аналогично, в каждом вертикальном ряду на 4 клетки приходится по три горизонтальных изгиба. Исходя из этого, получаем формулы вычисления изгибов.