Как сложить четыре равносторонних треугольника?
2 ответа:
Мне эта задачка знакома с детства. Разгадка ее состоит в том, чтобы выйти за границы привычного, двухмерного мышления в отношении выкладывания фигур из спичек на столе.
Ведь как бы мы ни старались раскладывать спички по плоскости так и сяк, не получается выложить четыре равносторонних треугольника из шести спичек... А вот если из плоскости выйти в трехмерное пространство...
Выкладываем три спички на поверхности в виде равностороннего треугольника. А оставшиеся три ставим из углов этого треугольника вверх так, чтобы они сошлись кончиками в одной точке. Получаем объемную фигуру - пирамиду с треугольным основанием (тетраэдр). Основание и боковые грани этой пирамиды - равносторонние треугольники.
Читайте также
Нашлось, действительно двадцать четыре треугольника. Пришлось слегка потрудиться, чтобы уж наглядно предъявить их. Дарю, может кому и понадобится. Чего не сделаешь ради вопрошающих? В общем, двадцать четыре штуки, включая основной из задания.
<hr />
Дано: Δ ABC, Δ ADC; BC = AD; ∠ OAC = ∠ OCA (обозначены на чертеже одной зелёной дугой).
Доказать: Δ ABO = Δ CDO.
Доказательство.
Рассмотрим треугольники ABO и CDO. Попытаемся найти в них три пары равных элементов, среди которых есть хотя бы одна пара линейных (например, пара равных сторон):
1) Очевидно, ∠ AOB = ∠ COD. Эти углы вертикальные. У них есть общая вершина O, а пары их сторон AO — OD и CO — OB составляют продолжение друг друга. Я отметил эти два угла двумя зелёными дугами.
2) Рассмотрим треугольник AOC. По условию задачи в нём два угла равны: ∠ OAC = ∠ OCA. А значит, этот треугольник равнобедренный. Мы знаем, что каждый такой треугольник имеет две равные стороны, они лежат напротив равных углов. В данном случае это стороны OA и OC: OA = OC. Но ведь эти же стороны OA и OC есть и в треугольниках ABO и CDO. На рисунке я отметил эти стороны одним синим отрезком.
3) Что можно сказать о сторонах BO и DO? В условии задачи сказано, что AD = BC. Пусть эта величина равна p (AD = BC = p). Далее, во втором пункте доказательства (см. выше) мы нашли, что AO = OC. Пусть это будет q (OA = OC = q). Но мы видим по рисунку, что: BO = BC – OC; DO = AD – OA. Или: BO = p – q; DO = p – q. Итак, мы доказали, что эти стороны тоже равны, так как их дли́ны представляют собой разности попарно равных уменьшаемых и вычитаемых. Я обозначил эти стороны на чертеже двумя синими отрезками.
Имеем две пары равных сторон и одну пару равных углов между ними. В результате получаем, что треугольники ABO и CDO равны по первому признаку равенства треугольников: OA = OC; BO = DO; ∠ AOB = ∠ COD.
P. S. Я нарисовал треугольники ABC и ADC тупоугольными. Но они могут быть также прямоугольными или остроугольными. Суть решения меняться не будет.
Если речь идёт о высотах из вершин одного треугольника, то да, должны. Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на сторону, противоположную этой вершине. В равнобедренном треугольнике высота, находящаяся между равными сторонами, является также биссектрисой и медианой.
Высоты в одном треугольнике могут быть равны только в том случае, если проведены из одинаковых углов на одинаковые стороны. И углы они делят на одинаковые части.(Но не на равные между собой в одном разделённом угле).
Например, в равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС. Тогда высота АК = высоте СЕ. Тогда угол ВАК = углу ВСЕ, а угол КАС = углу ЕСА.