Достался нам лесной участок под сад, на котором очень много пней, их нужно выкорч*вывать.
Разберем этот глагол несовершенного вида по составу, чтобы определить, в какой морфеме находится сомнительная гласная,
а тогда попробуем обратиться к соответствующему правилу.
Вот морфемный состав этого глагола: вы/корч/*в/ыва/ть (приставка/корень/суффикс/суффикс/окончание).
Таким образом, выяснили, что сомнительная гласная находится в суффиксе. Она, к тому же, под ударением стоит.
При произношении слышится гласный о.
Но вопрос остается -- писать о или ё в этом суффиксе?
Вот тут-то и вспомним правило русского языка о правописании этого суффикса.
Правило же гласит, что в глаголах несовершенного вида, у которых корень оканчивается на шипящие ж, ч, ш, щ, пишется гласная ё, передающая произносимую ударную гласную о , например: перемежёвывать, растушёвывать, выкорчёвывать, откочёвывать.
Так что после шипящей ч в заданном глаголе правильно писать суффикс -ёвыва-: выкорчёвывать.