Развивающаяся тенденция к повальному отнесению различных устойчивых сочетаний, наподобие "при?смерти", к наречным выражениям или даже к наречиям, значительно упрощает морфологический и синтаксический анализ, но при этом и имеет обратную сторону - увеличение числа ошибок. Принцип "если наречие, то слитно" или "если есть устойчивость, то слитно" ошибочен, но упорно сидит в головах многих школьников.
Написание "присмерти" (слитно) - это ошибка. Устойчивость данного предложно-падежного сочетания не отменяет самостоятельности существительного "смерть", употребляющегося во всех известных падежах: "перед смертью", "у смерти", "за смертью", "о смертях" и так далее.
"При смерти" пишется только раздельно.
Также нельзя писать слитно, к примеру, такие сочетания как "в больнице", "на одре", "в постели", "у кровати", "в могиле", "у гроба", "в агонии".