Надо ещё раз проверить записи NS-серверов.
Домен .ONLINE - это не только универсальное интернет пространство, но и показатель присутствия вашего проекта в Сети. Интернет-адрес в домене .ONLINE подойдет для любой деятельности, которая осуществляется в режиме реального времени, онлайн. Это могут быть и новости, и различные трансляции событий, и обучение, мастер - классы. Также торговля, опросы и голосования, консультации по любым вопросам и многое многое другое.
Домен .ONLINE - это все самое свежее и горячее, интересно, актуальное и востребованное!
То, что вы называете доменом первого уровня, это домен второго уровня. Домен первого уровня вам недоступен. А свой поисковик создать возможно и очень просто, но вы замучаетесь собирать информацию. Можно так же просто свой поисковик подключить и к другим поисковикам, к тем же яндексу, гулу и к любым другим. Но врят ли вы потяните конкуренцию с ними. Гляньте для интереса: qip.ru , у них тоже сВой поисковик но подключен к яндексу.
Домен можно проверить на сайте выбранного вами хостинг-провайдера (например, "Beget" - одного из популярных и лучших хостингов в России). Просто попробуйте зарегистрировать домен и вам сразу покажут, что домен либо уже работает, либо припаркован, либо вы моежте его зарегистрировать.
На сайте любого хостинг-провайдера, который предоставляет подобные услуги по продаже доменных имен есть такая информация. Вы выбираете имя сайта и домен, который хотите к нему припарковать и проверяете. Просто вбейте в поисковике "купить домен" и у вас будут куча вариантов.