Симметрия - это не только "одинаковость относительно центра симметрии". Это определение справедливо лишь в элементарной геометрии.
Более общее определение симметрии - это когда свойства объекта не изеняются после некоторого преобразования (такие преобразования назваются инвариантными). Скажем, для цилиндра инвариантным преобразованием может быть поворот относительно оси на произвольный угол, для сферы - вообще произвольный поворот, а для параллелограмма - только поворот на 180 градусов.
Но есть и более сложные и неочевидные виды симметрии. Например, трансляционная симметрия в кристаллах: параллельный перенос на расстояние, равное шагу кристаллической решётки, даёт ровно ту же картинку. Именно на таком свойстве кристаллов основана физика работы всех полупроводниковых приборов. Такие виды симметрий рассматриваются в специальном разделе математики - теории групп.
В физике симметрия вообще играет фундаментальную роль. Например, все законы сохранения классической физики (сохранение энергии, импульса и имомента импульса) связаны с каким-то видом симметрии - эту теорему примерно век назад доказала Эмма Нетёр. Сохранение энергии связано с симметрией относительно выбора начального момента времени (фактически с однородностью шкалы времени - любой момент ничем не отличается от любого другого). Сохранение импульса связано с однородностью пространства - симметрия относительно параллельного переноса на произвольный вектор (т. е. любую точку пространства можно взять за "начало отсчёта"). Сохранение момента импульса связано с изотропией пространства - равноправием всех направлений в нём (оси координат можно направить как угодно, это симметрия относительно произвольного поворота).
В квантовой механике рассматриваются и другие виды симметрии - например, зарядовая симметрия (эквивалентность положительных и отрицательных зарядов), сдедствием которой является, как и для всякой симметрии, свой закон сохранения - закон сохранения электрического заряда. Ещё более заковыристые виды симметрий рассматриваются в квантовой хромодинамике (физика кварков), но это уже совсем сложные материи.
Кстати, преобразования Лоренца (описывающие свойства пространства и времени в СТО Эйнштейна) изначально тоже были как попытка придать уравнениям Максвелла симметричный характер, то есть возникли как результат чисто математической игры ума. Роль преобразования симметрии, относительно которого строилась инвариантность уравнений, играл выбор скорости системы отсчёта "относительно эфира", однако никакой физической подоплёки под эти преобразования не подводилось. Физическое обоснование им дал Эйнштейн, разработав специальную теорию относительности.
