В мире имеются многие сотни болезней. Перечислить их все в одном ответе очень сложно.
Облегчает дело то, что названия многих болезней в русском и английском звучат очень схоже. Например: дифтерия — dyphtheria, полиомиелит — poliomyelitis и так далее.
Поэтому я ограничусь перечислением тех болезней, названия которых в русском и английском языках различаются.
корь — measles
краснуха — German measles, rubella
скарлатина — scarlet fever
коклюш — whooping cough
натуральная оспа — smallpox
ветряная оспа — chickenpox
свинка (эпидемический паротит) — mumps
грипп — flu, influenza
желтуха — jaundice
столбняк — tetanus
рожа — erysipelas
проказа — leprosy
чума — plague
ящур — foot-and-mouth disease
лихорадка — fever
тиф — camp fever
бешенство — rabies
чесотка — scabies
зоб — goiter, wen
гайморит — antritis
рак — cancer
СПИД — AIDS
подагра — gout
запор — constipation
понос — diarrhoea (BrE), diarrhea (AmE)
бессонница — insomnia, sleeplessness
близорукость — myopia, short sight
дальнозоркость — long sight
перелом — fracture, break
вывих — dislocation
ожог — burn
обморожение — frostbite
синяк — bruise
опухоль — tumor
язва — ulcer, sore
сыпь — rash
отёк — oedema
ожирение — obesity
Само слово "болезнь" может переводиться на английский по-разному. Есть следующие синонимы: illness (BrE), sickness (AmE), disease, malady, ailment.
Что касается слова "больной", то англичане переведут "больной" словом ill, а если англичанин сам болен, то он скажет "I feel ill". У американцев не то: больной у них — sick, а "Я болен" будет "I feel sick". А вот в Великобритании выражение "I feel sick" будет означать, что человека тошнит.
Более полный список болезней на английском языке Вы найдёте здесь и здесь.