Question

Как решить задачу: Петя расставил числа от 1 до 20 по кругу (см)?

Петя расставил числа от 1 до 20 по кругу и для каждых трёх подряд идущих чисел вычислил их сумму. Могут ли 11 из 20 этих сумм оказаться равными

Answer 1

Рассмотрим вариант для суммы двух подряд идущих чисел. Пусть первых два числа

1 + 20 = 21.

Если сместиться с шагом на цифру то мы не найдем третье число которое в сумме дает 21. Самое меньшее 20 + 2 = 22. Значит, остается вариант с шагом через цифру:

1 + 20 = 21,

2 + 19 = 21,

…………….,

10 + 11 = 21,

11 + 1 ≠ 21.

В этом варианте 10 из 20 сумм оказались равными.

Аналогично рассмотрим вариант для суммы трех подряд идущих чисел. Пусть первых три наиболее подходящих числа

20 + 1 + 14 = 35.

Если сместиться с шагом на цифру то мы не найдем четвертое число которое в сумме дает 35. Самое ближайшее это 1 + 14 + 19 = 34. Следовательно, остается вариант с шагом через цифру, то есть 10 одинаковых сумм. Но 20 не делится нацело на три. Тогда максимально 9 трех идущих подряд чисел: 20, 1, 14, 2, 19, 3, 13, 4, 18, 5, 12, 6, 17, 7, 11, 8, 16, 9, 10, 15, (0).

20 + 1 + 14 = 35,

14 + 2 + 19 = 35,

19 + 3 + 13 = 35,

13 + 4 + 18 = 35,

18 + 5 + 12 = 35,

12 + 6 + 17 = 35,

17 + 7 + 11 = 35,

11 + 8 + 16 = 35,

16 + 9 + 15 = 35,

(15 + 0 + 20 = 35).

Answer 2

Порешал, похоже не наберется 11 одинаковых подсумм.Но строго это не смог доказать.

Пусть эта одинаковая подсумма-х.У нас пусть будет 11 одинаковых подсумм и 9 каких-то других.

Сумма чисел от 1 до 20 равна 210.

Тогда общая сумма этих 20 подсумм будет 210*3=630,так как каждое из чисел от 1 до 20 употребляется в этих подсуммах по 3 раза.Тогда:

11х+А=630,где А-сумма 9 каких-то других подсумм,отсюда получим:

6<=x<=57,где <= означает " меньше или равно".

6=1+2+3-только один вариант представления подсуммы х

57=18+19+20-тоже только один вариант представления

Оптимальный вариант величины подсуммы х=31 или 32,как раз посередине промежутка 6--57( точнее середина 31,5 но это дробное число не подходит как сумма трех натуральных чисел)

То есть числа 31 или 32 можно представить наибольшим количеством вариантов подсумм.Например:

31=1+20+10

31=1+19+11

31=1+18+12

• и так далее (в отличии от 6=1+2+3 или 57=18+19+20,использу­<wbr />ем только числа от1 до 20 в качестве слагаемых в подсуммах).

Но порешав эту задачу вручную я нашел только 7 вариантов одинаковых подсумм.

Вот так,например,располо­<wbr />жены числа:

17; 6;8, 3,20, 1, 10, 2, 19, 5. 7, 9,15, 4, 12,18, 11,13,14, 16

Одинаковые подсуммы: 31=17+6+8=8+3+20=20+­<wbr />1+10=10+2+19=19+5+7=­<wbr />7+9+15=15+4+12

Но,повторюсь,в ответе не уверен