Данное выражение состоит из предлога "после" и местоимения "этого. Такое словосочетание не нужно выделять запятыми.
Птички (что сделали?) прилетели. Прилетели (когда?) после этого.
"После этого" - обстоятельство времени, причины выделять его запятыми у нас нет.
Если же в предложениях встречается запятая после данного выражения, то она ставится в следствие каких-либо иных причин, не связанных со словосочетанием "после этого".
Например:
После этого, Николай, вы должны уехать. (Тут запятыми выделили обращение)
После этого, когда все разошлись, я подошёл к Алексею и пожал его руку. (А тут запятыми выделили придаточное предложение).
Конечно, разногласия и разночтения существуют, потому что люди делают выводы, опираясь на разные грамматические источники. Я училась в Калужском педагогическом университете, до этого проходила там же лингвистические курсы. Из курса русского языка мне запомнилось, что слово "поэтому" является все-таки наречием, а никак не союзом и союзным словом. "Поэтому" является полноценным членом предложения, а именно обстоятельством. Предложение, в котором встречается данное слово может быть и простым, и сложносочиненным (с союзом или без него), и сложноподчиненным. В сложных предложениях "поэтому" может быть опущено без ущерба структуре предложения.
Примеры:
1) Я пришел именно поэтому. (простое предложение)
2) Он повинился во всем, и поэтому мы его простили. (сложносочиненное, части соединены союзом и)
3) Собака сильно мерзла, поэтому пришлось взять ее в дом. (сложносочиненное, бессоюзное)
4) Вы болели и пропустили много занятий и, если поэтому не сдадите экзамен, будете отчислены. (сложноподчиненное предложение с придаточным условия, в котором присутствует "поэтому")
В приведенном выше примере запятая не нужна.
Она нужна при введении в предложение дополнительных членов:
"А теперь, _когда мы разобрались с домашним заданием_, перейдём к следующему параграфу".
Перед нами части сложноподчинённых предложениий.
Придаточное определительное в обоих вариантах присоединяется к главной союзными словами, относящимися к вопросительно-относительным местоимениям: "что" и "которая".
Каждая придаточная часть определяет слово в главной соответственно: та (какая?), что... и та (какая?) которая...
В данном случае союзные слова "та" и "которая" синонимичны, следовательно, говорить о правильности одной из двух грамматических конструкций нельзя.
Обе верны, а какую использовать - дело автора и общего контекста.
Не все глаголы современного русского языка могут иметь полную парадигму причастий и деепричастий.
О последних: деепричастия как неизменяемая часть речи не имеют категории времени, этим они похожи на наречия и этим же отличаются от других глагольных форм.
Деепричастия обладают видом, который они перенимают от глагола-"производителя", т.е. отвечают на вопросы что делая? (несовершенный вид) или что сделав? (совершенный вид).
Это значит, что от глагола совершенного вида "написать" (что сделать?) нельзя образовать деепричастие несовершенного вида, только "написав" (что сделав?).
