Законодательством определен исчерпывающий перечень сделок, который подлежит обязательному нотариальному удостоверению.
Договоры об отчуждении недвижимости ( в вашем случае купли-продажи квартиры), не требуют соблюдения обязательного нотариального удостоверения, однако законодательство рекомендует это сделать, так как нотариус не только проверит законность сделки, но и проследит за соблюдением прав сторон, заключающих сделку, а также прав третьих лиц, например членов семьи (Продавца) собственника, в частности несовершеннолетних детей, прописанных в отчуждаемой недвижимости.
Инициатива по такому удостоверению может исходить как от продавца так и от покупателя. Насчет требования по оплате, тут я думаю нужно решать самим : как договоритесь, так и будет. Законодательством не определено, что стороны, нотариально удостоверяющие сделку, обязаны платить за это 50/50.
Что касается вашего случая и двух собственников, то нотариальное удостоверение потребуется только для оформления согласия второго собственника на продажу квартиры. Саму сделку удостоверять не нужно. Платить за согласие вы не обязаны, это скорее нужно продавцу, чем покупателю, ведь продавец несет ответственность за то, что он продает.
Очень не хочется писать большой объем информации или копировать ее в других источниках, я просто оставлю вам ссылку, с простейшим алгоритмом по купле-продаже квартиры, там же описаны и подводные камни и куча всего по принципу: есть проблема - идите туда, делайте это. Рекомендую.
Как купить/продать квартиру без агенства?
О нотариальном удостоверении сделок.
Покупка квартиры у двух собственников