Да, можно.Мы получали Свидетельства о рождении на своих детей именно в роддоме. Нужно было сказать лечащему врачу о том, что имя ребенка уже придумали,и хотим получить Свидетельство при выписке из роддома.
Очень удобно было.Не надо потом ходить в ЗАГС, время тратить... Сотрудники сами пришли и торжественно вручили первый документ ребенка. (Не в каждом населенном пункте и не в каждом регионе, возможно, есть такой "сервис", но у нас в городе такое есть.И это правильно: маме после родов надо отдыхать, а папе - больше помогать ей, а не терять время на походы по казенным инстанциям).
Те родители, у которых были разногласия в том, какое имя дать малышу, не давали заявку на получение Свидетельства.Одинокие мамочки, те,которые не замужем, тоже не хотели получать Свидетельство в роддоме.Видимо, решили взять паузу, чтобы решить, какое отчество дать ребенку или решить вопрос об отцовстве.