По желанию или по-желанию как пишется правильно, раздельно или через дефис, выясним, определив часть речи и грамматическую форму слова.
Тему своей презентации выбирайте по желанию.
Слово "по желанию" синонимично сочетанию "в соответствии со своим желанием".
Значит, мы имеем дело с существительным "желание" в падежной форме с предлогом.
Что это именно предлог, а не приставка, можно понять, если проделать определенные манипуляции.
Вставим вопрос или определяемое слово между предлогом и словом:
по какому? желанию;
по чьему? желанию;
по своему желанию;
по обоюдному желанию.
Согласно правилу орфографии предлоги пишутся всегда раздельно со словами разных частей речи.
Слово "по желанию" пишется раздельно как падежная форма существительного с предлогом.
Примеры
По желанию предлагаем выбрать кинофильм для просмотра.
Садитесь за столы по желанию.
Существует слово "пожелание", которое имеет омонимичную (похожую) падежную форму "пожеланию".
Вашему пожеланию не суждено было сбыться.
Слово "пожеланию" пишется слитно с приставкой по-, доставшейся ему от производящего глагола:
желать - пожелать - пожелание.