Смысл этих понятий с течением веков изменялся. Так, в Библии, после того, как праотец Яаков (Иаков) получил это имя (см. Брейшит - Бытие, ХХХII:28), его потомки стали называться "Сыны Израиля" или "Дом Израиля". Слово "Дом" здесь означает "общность людей по признаку родства", то есть "племя", "народ". В литературе употребляются также термины "израильтяне" и "евреи" с одинаковым значением. Новый Завет тоже использует иногда выражение Израиль (в смысле "Духовный Израиль") по отношению к Христианской церкви (см. Римлянам IX:6).
После смерти царя Соломона и раскола его царства на южное (которое сохранило название "Иудея") и северное, называвшееся "Шомрон" (Самария) и "Израиль" термин "израильтяне" стал применяться к жителям северного царства, наряду с более общим термином "евреи".
В Новое Время (примерно с XVII-го века) наиболее употребительным словом для обозначения представителей еврейского народа стало слово "иудей", обозначавшее религиозную принадлежность, поскольку тогда не было понятия "национальность", а было понятие "вероисповедание".
В России употребление слова "еврей", вместо употреблявшегося до этого "жид", было, как я писал в этом ответе, введено указом Екатерины II-й в 1787-м году. Наряду с ним, и даже гораздо чаще, использовалось слово "иудей".
После создания Государства Израиль в 1948-м году граждане этого государства стали называться "израильтяне", но так как большинство их были евреи, то на русском языке слова "еврей" и "израильтянин" имели одинаковое значение, тем более, что граждане Израиля не-евреи (арабы) отвергали применение по отношению к себе понятия "израильтянин". Подавляющее их большинство и по сей день это отвергает, что не мешает им пользоваться паспортами, в которых это слово записано и которые дают им массу преимуществ по сравнению с теми жителями Израиля, кто этого паспорта не имеет, например, часть жителей Восточного Иерусалима.
В настоящее время формально существуют три понятия: 1) гражданство - израильтянин, это могут быть евреи, арабы, русские, армяне, черкесы и так далее. 2) национальность. При этом в Израиле, кроме вышеперечисленных, существует "национальность", которой нет нигде больше в мире. В официальных документах у некоторых граждан Израиля записано в графе "национальность" - "ло рашУм" (לא רשום), что значит "не записан", "не числится". Такую запись делают тем, кто заявляет, что он еврей, но не имеет подтверждающих документов. (Вот, кстати, Вам идея для следующего вопроса - дарю.)
И, наконец, 3) религиозная принадлежность. Тут есть некоторая разница на русском языке и на иврите: на русском существует два разных слова - "еврей" и "иудей", смысл которых может совпадать, а может и не совпадать. На иврите эти понятия не различаются и выражаются одним словом "иегудИ" (יהודי). Еврей по происхождению может быть, например, христианином по вероисповеданию, правда, в Израиле его уже не будут считать евреем. А вот еврея, не исповедующего никакой религии, всё равно будут считать евреем, в том числе и в официальных документах.
В заключение маленькое замечание, специально для уважаемого автора вопроса Kiden, который написал в комментарии:
Это не совсем так. Действительно, начиная с 2002-го года, по примеру многих стран, в выдаваемых в Израиле удостоверениях личности перестали указывать национальность. Но некоторые люди с этим не согласны и требуют, чтобы национальность была указана. В этих случаях ее записывают в удостоверение личности. Кроме того, запись о национальности сохранилась в удостоверениях, выданных до 2002-го года.