Накопилось так много дел, что начинаю (ЧТО ДЕЛАТЬ?) тонуть от недостатка времени.
Обозначенное действие и сам вопрос указывают на то, что слово тонуть -- глагол в неопределенной форме (инфинитиве).
Поэтому сразу можно выделить морфему -ть, правда, в разных программах она отмечается по-разному: либо это окончание,
либо суффикс формообразующий. Но в любой из этих трактовок -ть не входит в основу слова.
Есть в этом слове суффикс -ну-, обозначающий кратковременность или быстротечность действия, как, например, в глаголах "прыгнуть (прыгать), изогнуть (изгибать), капнуть (капать), топнуть (топать).
Остается морфема то-. Это и есть корень данного слова.
Такой вот интересный глагол.
И однокоренные слова имеют разные корни, например: по/то/нуть, у/то/нуть; топ/ить, по/топл/ять, по/топл/ение.
Подытоживая вышесказанное (написанное), представлю морфемный состав в компактной форме:
ТО/НУ/ТЬ -- корень/суффикс/окончание или суффикс; основа -- тону-.