Перво-наперво: закон сохранения энергии обмануть не удастся. "Полтора вольта" - это, надо полагать, пальчиковый элемент питания АА. Мощность, которую с него удастся слупить, - это максимум ватта два, потому что он по жизни не может выдать ток больше 1-1,5 А. И то это будет означать резкое снижение её ёмкости (типовые токи таких элементов питания - сотня-другая миллиампер). Впрочем, можно взять и элемент типа D (толстый бочонок), эти помощнее будут, с них удастся слупить и 5-10 ватт...
Второе: "кренка" (микросхемы с буквенным обозначением КРnnnЕНхх (nnn, xx - какие-то цифры) предназначены для стабилизации, причём постоянного напряжения. В вашем случае требуется преобразователь, а такие микросхемы обозначаются ЕУ (например, КР1211ЕУ1).
В-третьих, готовые решения, ну вот как на этой микросхеме, обычно работают минимум от трёх вольт. От 1,5 вольта она даже не запустится.
Ну и к сабжу.
Да, преобразователь на транзисторах, чисто чтоб научиться делать что-то электронное, сделать можно. Только не на 50 Гц, а на десятки килогерц, при колечке всего-то в 1 см диаметром. Причина в том, что низкие частоты - это автоматом большие индуктивности, чтобы феррит сердечника не попадал в насыщение (рекомендую самостоятельно ознакомиться с тем, что такое насыщение магнитного материала), а большие индуктивности - это много-много витков и много-много кубических сантиметров. Ну сами, небось, представляете, как выглядят трансформаторы сетевого напряжения (50 герц), даже и маломощные.
В-четвёртых, упомянутый диод на фиг не нужен, потому что вы ж хотите получить переменное напряжение на выходе, а не выпрямленное. Ну то есть если выпрямленное - тогда вопросов нет, но что-то мне подсказывает, что это не так...
Ну и собсно сабж.
Простейший вариант на дискретных транзисторах - мультивибратор и симметричный ключевой каскад, работающий на трансформатор. Потребуется 4 транзистора небольшой мощности (большой, как сказано, с пальчикового элемента не снять). Если от элемента АА, то подойдут даже КТ361 или КТ3107. Если же элемент D, на несколько ватт, - то транзисторы ключевого каскада должны быть средней мощности - КТ502 или даже КТ816. Я советую использовать транзисторы pnp-структуры, потому что напряжение насыщения у них меньше, чем у npn.
Стало быть, схема:
На транзисторах VT1, VT2 собран банальный симметричный мультивибратор. Частота его колебаний примерно равна 1/(1,4R3C2), при условии R1=R2, R3=R4, C1=C2 (симметричный же). В качестве транзисторов рекомендую КТ3107Г, у них высокий h21E и низкое напряжение насыщения. Номиналы: R1=R4=47 Ом, R2=R3=1,2 кОм. Если частоту выбрать равной, скажем, 20 кГц (ещё раз: низкой частоты на мелком сердечнике не получить), то ёмкость времязадающих конденсаторов С1, С2 будет по 30 нФ (это стандартный номинал из ряда Е24). Если такой нету, сгодится и 27 нФ.
Выходные импульсы мультивибратора идут на ключевой каскад на транзисторах VT3-VT6. Если элемент питания маломощный (АА), то верхние плечи тут могут быть на КТ3102, нижние - на КТ3107. Если элемент D, повышенной мощности, то лучше взять КТ503 и КТ502. Базовые резисторы для всех одинаковые, чтоб проще было, и можно взять где-то в 1 кОм. Форсирующие ёмкости, ускоряющие переходный процесс открывания и закрывания транзисторов, - по 470 пФ.
Ёмкости по питанию - 10 мкФ (С7) и керамический (не бумажный!) 10 нФ (С8).
Трансформатор: на первичной обмотке действует почти полное напряжение питания, за вычетом падения напряжения на двух открытых транзисторах, то есть где-то 1,1 вольта. Причём это честная амплитуда, потому что выходной каскад - полная мостовая схема. Число витков в первичной обмотке сильно зависит от параметров сердечника, но для прикидки можно намотать 110 витков. Это с высокой вероятностью достаточно, а считать проще.
Для получения выходного напряжения в 220 вольт (для прямоугольника действующее напряжение равно амплитудному) из амплитудного в 1,1 В число витков во вторичной обмотке должно быть в 200 раз больше, чем в первичной, то есть 22000. Ну не знаю, как вы сумеете намотать столько витков проводом в 0,1 мм...
Число витков можно значительно уменьшить, если частоту выбрать равной не 20 кГц, а, скажем, 200 кГц. Или даже 2 МГц. Но тогда и правила игры будут другими, придётся сильно изменить схему на предмет её быстродействия. А это уже совсем другая история...