Достаточно разобрать приведенные слова по составу: в первом корень жи-, во втором -- все слово жилет целиком.
Лексические значения тоже ничего общего не имеют.
Даже этимологического родства у этих слов не обнаруживается.
Жил -- форма прошедшего времени от глагола жить, который имеет общеславянские корни.
Существительное жилет пришло к нам, в русский язык, из французского языка, и связано оно с именем Жиль.
Именем Жиль во Франции с давних времен называли тех, кто развлекал публику на ярмарках своими балаганными шутками, фокусами, акробатическими номерами. Имя Жиль закрепилось за клоунами-фокусниками, как у нас в сказках и поговорках русское имя Иван.
Есть и другие версии происхождения слова "жилет", но все они никак не связаны со словом "жить".
Поэтому ответ на этот вопрос стопроцентно однозначный: слова жил и жилет не являются однокоренными словами.