Задирать нос - это когда пытаешься быть выше всех окружающих. Когда ты на самом деле их не выше (не лучше), но хотя бы задрав кверху нос пытаешься таковым казаться. Со стороны же выглядит смешно это.
Синонимы: задаваться, важничать, заноситься, выделываться, выпендриваться.
Сыт по горло - практически никогда в буквальном смысле не употребляется. Когда переест наш человек, он скорее скажет: наелся от пуза, объелся или даже обожрался.
Употребляется в переносном смысле, когда "наелся" чем-то нематериальным, например, обещаниями пустыми.
Синонимы: достало, осточертело, надоело.
Снимать шляпу - тут всё просто.
Шляпы уже давно почти никто не носит, поэтому когда так говорят - шляпу снимают "виртуально", выказывая своё уважение.
Синонимы: моё почтение, респект, уважуха (два последних всё же жаргонные, сленговые).