Правильно будет шестьдесят три дня. Так нас и в школе учили. Возможны иные варианты, но они сводятся к различным ухищрениям и искусной перестройке фразы.
Дело в том, что числительные, которые в цифровой записи оканчиваются на одну из цифр: 2, 3, 4 (кроме чисел 12, 13 и 14 в каждой сотне), в форме именительного или винительного падежа по правилам русского языка требуют после себя родительного падежа единственного числа. Скажем, тридцать два кота или пятьдесят четыре овцы. Но со словами pluralia tantum, которые всегда во множественном, просто беда. Ну нет у них единственного числа в принципе. Обычно в данном случае надо было бы применить собирательное числительное вместо количественного. Да только здесь другая проблема вышла: нет в русском собирательных числительных больше 10. То есть "двое ножниц", "четверо ворот" — вполне нормативно. А сказать "шестьдесят трое суток", увы, нельзя.
С названиями парных предметов при необходимости назвать количество, большее 10, нашли выход: обычно в данном случае добавляют слово "пара". Например, 63 пары очков (для глаз), 74 пары брюк. Но вот с часами (прибор) и с сутками такой фокус не пройдёт. Так что замените слово "сутки" на "день", говоря "63 дня".
Поясню, что слово "день" вовсе не всегда, не во всех случаях означает светлую часть суток от восхода до заката. Вполне можно употреблять это слово для обозначения промежутка времени в 24 часа, то есть суток в целом. Скажем, можно сказать "Дождь шёл три дня подряд", и неважно, что он шёл ещё и ночью.
Правда, касательно именно суток есть альтернативный вариант. Можно в некоторых контекстах добавить предлог "в течение", "в продолжение" либо же "на протяжении". Тогда числительное окажется в родительном падеже, который прекрасно ладит с существительными pluralia tantum, ставя их в родительный падеж множественного числа. Итак, эксперимент продолжался в течение шестидесяти трёх суток; летаргический сон пациентки длился на протяжении двухсот восьмидесяти четырёх суток. И тому подобное.