Все перечисленные слова объединены одинаковой частью слова - «мини-».
И все в русском языке — пришельцы (хотя бы частично).
Итак:
Слово «министр» позаимствовано из немецкого или французского (существуют разные версии). Исходная версия выглядела как ministre и восходит к латинскому minister. Кстати, изначально это слово означало «слуга», «помощник» и было родственно латинскому minor («маленький», «младший»). Странно ли, что изначальный «слуга» превратился в «главу государственного органа управления»? Собственно, не очень: первоначально — во французском языке — слово ministre входило в словосочетание «minister rēgis». т. е. «слуга (помощник) короля (главы)», т. е. министр помогал управлять. А от «помощника в управлении» до «управленца», а затем «главы управленцев (по определенному вопросу)» — уже рукой подать.
Слово «минимальный» восходит к латинскому языку непосредственно. Было в нём слово minimus, означавшее «наименьший», «самый маленький». В таком виде оно в русский и пришло, попутно утратив латинское окончание — us и обретя вполне русское -ый.
Слово «мини-юбка» — калька из английского, буквальный перевод соответствующего английского обозначения типа одежды. Как легко понять, оно составное — из двух корней, один из которых — «мини-», т. е. «маленький».
Слово «миниатюра» пришло в русский язык из французского (а возможно, и итальянского). С самого начала обозначало небольшой рисунок, обычно книжную заставку, после — распространилось на все виды «малых форм» в искусстве
Таким образом, как это часто бывает с иностранными, заимствованными словами, в русском языке все эти слова — не однокоренные. Разве что по звучанию близкие, а так ничего общего:
у слова «министр» корень «министр-»
у слова «минимальный» — «минимальн-»
у слова «миниатюра» — «миниатюр-»
у слова «мини-юбка» корней целых два: «мини-» и «юбк-».
<hr />
Однако русский язык — не единственный.
«Мини-юбку» как конструкт искусственный можно отбросить — слово специально создано, причем сравнительно недавно, т. е. в исходном языке его не существовало (как не существовало и чего-то аналогичного). Правда, его часть «мини-» явно восходит к латинскому minimus — «наименьший», с которым мы встретились, когда говорили о слове «минимальный».
Слову minimus явно родственно латинское же minor («меньший») — близкий этимологический родственник латинскому ministre, ставшему нашим «министром».
И ministre, и minor, и minimus происходят от индоевропейского *mei-, обозначавшего нечто небольшое, маленькое.
А вот «миниатюра», хотя и обозначает небольшой рисунок, в эту группу не входит. Оно по происхождению — тоже латинское, но восходит совсем к другому слову – minium. Означало оно — «киноварь, сурик», то есть оттенок красного цвета. Иными словами «миниатюра» первоначально не нечто «маленькое», а нечто «покрашенное киноварью (суриком)». Ничего удивительного — книжные заставки часто раскрашивались и украшались именно красным. Отсюда и название картинки, которое позже получило расширенный смысл.
Так что в нашем наборе слова «мини-юбка», «минимальный» и «министр» — этимологические родственники. В их изначальном — латинском — языке первого слова не существовало вовсе, а «минимальный» и «министр» были словами однокоренными.
А «миниатюра», происходящая из той же латыни, несмотря на близкое звучание, им никоим образом не родственница.
