Question

Почему производная функции является отношением?

Доброго Вам времени суток. Производная это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента, значение которого стремится к нулю. Почему именно отношение? В Сети пишут, что это как-то связано с уравнением прямой, которая имеет вид y=kx+b, где k—угловой коэффициент, который равен тангенсу, который, в свою очередь, равен отношению ординаты точки к её абсциссе. Я понимаю, что y и x можно понимать как ординату и абсциссу, и как значение функции и её аргумента. Но почему угловой коэффициент именно тангенс? Зачем, вообще, нужен коэффициент? Что это даёт? Почему, всё-таки, производная это отношение? Спасибо.

Answer 1

Проще всего ответить - "по определению". Некоторая функция под названием "производная" определяется как предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента.

Но это определение, как и вообще любое определение, появилось не на пустом месте, а отражает важные свойства производной: она показывает скорость возрастания функции. Собственно, вот то, что потом преподносят как "физический смысл производной", на самом деле и есть её суть, её важнейший смысл и та причина, по которой вообще вводят это понятие. И поскольку скорость, любая скорость, есть отношение (например, пути ко времени), то чего ж удивляться, что и в математическое определение тоже входит отношение...

Почему тангенс: потому что мы работает и рассуждаем в декартовых (прямоугольных) координатах. В таких координатах изменение аргумента и изменение функции откладываются по взаимно перпендикулярным направляниям (осям). То есть геометрически представляют собой катеты. Ну а отношение катетов - это как раз тангенс. Если брать не декартовы координаты, а какие-то другие, да хоть полярные, то математическое определение производной (формула, по которой она вычисляется), было бы другим.

С уравнением прямой это связано лишь косвенно. Просто для линейной функции (уравнение которой и есть уравнение прямой) производная численно равна коэффициенту при х. Что неудивительно - ведь скорость изменения такой функции всюду постоянна.