Рассмотрим случай, когда
![a = 0](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D+0)
получаем уравнение
![sin x + cosx = 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%2B+cosx+%3D+0)
- однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на
![sin x](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x)
либо на
![cos x](https://tex.z-dn.net/?f=cos+x)
. Поделим на косинус.
![\frac{sinx}{cosx} + 1 = 0 \\ tgx + 1 = 0 \\ tg x = -1 \\ x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bcosx%7D+%2B+1+%3D+0+%5C%5C+tgx+%2B+1+%3D+0+%5C%5C+tg+x+%3D+-1+%5C%5C+x+%3D+-+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B4%7D++%2B++%5Cpi+n)
P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть
![cos x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=cos+x+%3D+0)
. Но тогда из самого уравнения находим, что и
![sin x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%3D+0)
. Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества
![sin^{2}x = 1 - cos^{2} x = 1 - 0 = 1](https://tex.z-dn.net/?f=+sin%5E%7B2%7Dx++%3D+1+-++cos%5E%7B2%7D+x+%3D+1+-+0+%3D+1)
- противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали.
Пусть теперь
![a \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cneq+0)
. Тогда у нас имеется уравнение вида:
![sin x + cos x = \frac{a}{sinx}](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%2B+cos+x+%3D++%5Cfrac%7Ba%7D%7Bsinx%7D+)
Помножим обе части на
![sin x](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x)
с условием, разумеется, что
![sin x \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%5Cneq+0)
Имеем систему:
![\left \{ {{ sin^{2}x+sinxcosx = a } \atop {sin x \neq 0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B+sin%5E%7B2%7Dx%2Bsinxcosx+%3D+a+%7D+%5Catop+%7Bsin+x+%5Cneq+0%7D%7D+%5Cright.+)
Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.
![sin^{2} x + sinxcosx = a( sin^{2}x + cos^{2}x) \\ sin^{2} x - a sin^{2} x + sinxcosx - a cos^{2} x = 0 \\ (1-a) sin^{2} x + sinxcosx - a cos^{2} x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+sin%5E%7B2%7D+x+%2B+sinxcosx+%3D+a%28+sin%5E%7B2%7Dx+%2B++cos%5E%7B2%7Dx%29+%5C%5C++sin%5E%7B2%7D+x+-+a+sin%5E%7B2%7D+x+%2B+sinxcosx+-+a+cos%5E%7B2%7D+x+%3D+0+%5C%5C+%281-a%29+sin%5E%7B2%7D+x+%2B+sinxcosx+-+a+cos%5E%7B2%7D+x+%3D+0+)
Здесь уже хорошо видно, что если
![a = 1](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D+1)
,то уравнение имеет вид:
![sin xcosx - cos^{2} x = 0 \\ cosx(sinx - cos x) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+xcosx+-++cos%5E%7B2%7D+x+%3D+0+%5C%5C+cosx%28sinx+-+cos+x%29+%3D+0+)
Отсюда
![cos x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=cos+x+%3D+0)
или
Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на
![sin x \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%5Cneq+0)
. Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.
Пусть
![a \neq 1](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cneq+1)
Тогда делим обе части на
![sin^{2} x \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+sin%5E%7B2%7D+x++%5Cneq++0)
![1-a + \frac{cosx}{sinx} - a \frac{ cos^{2}x }{ sin^{2} x} = 0 \\ a ctg^{2} x - ctgx + a - 1 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=1-a+%2B++%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bsinx%7D+-+a+%5Cfrac%7B+cos%5E%7B2%7Dx+%7D%7B+sin%5E%7B2%7D+x%7D+%3D+0+%5C%5C+a+ctg%5E%7B2%7D+x+-+ctgx+%2B+a+-+1+%3D+0)
Пусть ctg x = t
![a t^{2} - t + a - 1 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=a+t%5E%7B2%7D+-+t+%2B+a+-+1+%3D+0)
.
Это уравнение является квадратным, поскольку
![a \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cneq+0)
Его дискриминант
![D = 1 - 4a(a-1) = 1 - 4 a^{2} + 4a = -(4 a^{2} - 4a - 1)](https://tex.z-dn.net/?f=D+%3D+1+-+4a%28a-1%29+%3D+1+-+4+a%5E%7B2%7D+%2B+4a+%3D+-%284+a%5E%7B2%7D++-+4a+-+1%29)
Далее рассмотрим такие случаи:
1)
![D \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=D+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
, тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней. исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
![-(4 a^{2} -4a-1) \ \textless \ 0 \\ 4 a^{2} - 4a - 1 \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=-%284+a%5E%7B2%7D+-4a-1%29+%5C+%5Ctextless+%5C++0+%5C%5C+4+a%5E%7B2%7D++-+4a+-+1+%5C+%5Ctextgreater+%5C++0)
Ищем корни квадратного трёхчлена:
![D = 16 + 16 = 32 \\ x_{1,2} = \frac{4+- \sqrt{32} }{8} = \frac{1+- \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=D+%3D+16+%2B+16+%3D+32+%5C%5C++x_%7B1%2C2%7D+%3D++%5Cfrac%7B4%2B-+%5Csqrt%7B32%7D+%7D%7B8%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%2B-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
Решая неравенство, получаем, что при
![a](https://tex.z-dn.net/?f=a)
∈
![(-](https://tex.z-dn.net/?f=%28-)
∞
![, \frac{1- \sqrt{2} }{2} )](https://tex.z-dn.net/?f=%2C+%5Cfrac%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%29)
∪
![( \frac{1+ \sqrt{2} }{2} ,](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Cfrac%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%2C)
+∞
![)](https://tex.z-dn.net/?f=%29)
исходное уравнение не имеет решений.
2)Если же
![D \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=D+%5C+%5Ctextgreater+%5C++0)
, то есть
![4 a^{2} -4a-1 \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=4+a%5E%7B2%7D+-4a-1+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
,
что происходит при
![a](https://tex.z-dn.net/?f=a)
∈
![( \frac{1- \sqrt{2} }{2} , 0)](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Cfrac%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+%2C++0%29)
∪
![(0,1)](https://tex.z-dn.net/?f=%280%2C1%29)
∪
![(1, \frac{1+ \sqrt{2} }{2})](https://tex.z-dn.net/?f=%281%2C++%5Cfrac%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D%29+)
,то квадратное уравнение имеет два различных корня:
![t_{1,2} = \frac{1+- \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}](https://tex.z-dn.net/?f=+t_%7B1%2C2%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%2B-+%5Csqrt%7B1+-+4+a%5E%7B2%7D+%2B+4a+%7D+%7D%7B2a%7D+)
Возвращаемся обратно к x:
![x = arcctg(\frac{1+ \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}) + \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D+arcctg%28%5Cfrac%7B1%2B+%5Csqrt%7B1+-+4+a%5E%7B2%7D+%2B+4a+%7D+%7D%7B2a%7D%29+%2B++%5Cpi+n)
или
![ctg x = \frac{1- \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a} \\ x = arcctg(\frac{1- \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}) + \pi k](https://tex.z-dn.net/?f=ctg+x+%3D+%5Cfrac%7B1-+%5Csqrt%7B1+-+4+a%5E%7B2%7D+%2B+4a+%7D+%7D%7B2a%7D+%5C%5C+x+%3D+arcctg%28%5Cfrac%7B1-+%5Csqrt%7B1+-+4+a%5E%7B2%7D+%2B+4a+%7D+%7D%7B2a%7D%29+%2B++%5Cpi+k)
Вписываются ли эти серии в условие
![sin x \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%5Cneq++0)
?
Пусть
![sin x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x+%3D+0)
. Тогда из уравнения моментально получаем, что
![acosx = 0](https://tex.z-dn.net/?f=acosx+%3D+0)
, откуда либо a = 0(мы уже рассмотрели его), либо
![cos x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=cos+x+%3D+0)
(что невозможно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех указанных а.
3)Осталось рассмотреть две граничные точки(при которых D = 0).
а)Если
![a = \frac{1+ \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D++%5Cfrac%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
, то
![t = \frac{1}{2a} = \frac{1}{1+ \sqrt{2} } \\ ctg x = \frac{1}{1+ \sqrt{2} } \\ x = arcctg( \frac{1}{1+ \sqrt{2} } ) + \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=t+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D++%5C%5C+ctg+x+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D++%5C%5C+x+%3D+arcctg%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29+%2B++%5Cpi+n)
- здесь тоже синус явно отличен от 0.
б)Если
![a = \frac{1 - \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D++%5Cfrac%7B1+-++%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
, то
![t = \frac{1}{2a} = \frac{1}{1- \sqrt{2} } \\ ctg x = \frac{1}{1- \sqrt{2} } \\ x = arcctg( \frac{1}{1- \sqrt{2} } ) + \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=t+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%5C%5C+ctg+x+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D++%5C%5C+x+%3D+arcctg%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+%29+%2B++%5Cpi+n)
Таким образом, можем записать ответ к задаче в таком виде:
Ответ: при
![a \ \textless \ \frac{1- \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5C+%5Ctextless+%5C+++%5Cfrac%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
- уравнение не имеет решений; при
![\frac{1- \sqrt{2} }{2} \leq a \ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1-+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D++%5Cleq++a+%5C+%5Ctextless+%5C++0)
уравнение имеет две серии решений
![x_{1,2} =](https://tex.z-dn.net/?f=+x_%7B1%2C2%7D+%3D+)
![arcctg(\frac{1+- \sqrt{1-4 a^{2} +4a} }{2a} ) + \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=+arcctg%28%5Cfrac%7B1%2B-+%5Csqrt%7B1-4+a%5E%7B2%7D+%2B4a%7D+%7D%7B2a%7D+%29+%2B++%5Cpi+n)
; при
![a = 0](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D+0)
уравнение имеет единственную серию решений
![x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D+-+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B4%7D+%2B++%5Cpi+n)
; при
![0 \ \textless \ a \leq \frac{1+ \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5C+%5Ctextless+%5C++a++%5Cleq++%5Cfrac%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
аналогично
![ x_{1,2} = arcctg( \frac{1+- \sqrt{1-4 a^{2} +4a} }{2a} )](https://tex.z-dn.net/?f=+%0Ax_%7B1%2C2%7D+%3D+arcctg%28+%5Cfrac%7B1%2B-+%5Csqrt%7B1-4+a%5E%7B2%7D+%2B4a%7D+%7D%7B2a%7D+%29)
; при
![a \ \textgreater \ \frac{1+ \sqrt{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5C+%5Ctextgreater+%5C+++%5Cfrac%7B1%2B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
решений нет.