Question

Даю 99 балов

Камень бросили с крутого обрыва высоты h=10 м вверх под углом α=30° к горизонту со скоростью v0 =20 м/c. Найти полное время его полёта, если в точке падения на горизонтальную поверхность земли модуль вертикальной проекции скорости камня оказался равен вертикальной проекции скорости камня в момент броска? Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. Известно, что при вертикальном падении с очень большой высоты установившаяся скорость этого камня равна Vуст=10м/c.

Answer 1

Пусть сила сопротивления воздуха равна F = -kv; для удобства обозначу Vуст = v'.

В режиме установившейся скорости полёта сила сопротивления уравновешивается силой тяжести: -kv' = -mg, k = mg/v'

Записываем второй закон Ньютона для изменения вертикальной компоненты импульса:
$\Delta p_y=(F-mg)\Delta t\\ m\Delta v_y=\left(-\dfrac{mg}{v'}v_y-mg\right)\Delta t\\ \Delta v_y=-\dfrac g{v'}v_y\Delta t-g\Delta t$

$v_y\Delta t$ - это величина, на которую изменилась y компонента за время $\Delta t$:
$\Delta v_y=-\dfrac g{v'}\Delta y-g\Delta t$

Просуммируем эти равенства для всех промежутков времени от t = 0 до t = T, T - время падения:
$v_y(T)-v_y(0)=-\dfrac g{v'}(y(T)-y(0))-g(T-0)$

По условию вертикальная компонента скорости поменяла направление, первоначальная скорость была равна $v_0\sin\alpha$. Высота изменилась на -h, значит,
$-2v_0\sin\alpha=\dfrac{gh}{v'}-gT\\ T=\dfrac{h}{v'}+\dfrac{2v_0}{g}\sin\alpha$

T = h/v' + 2 v0/g sin(α) = 10 м / (10 м/с) + 2 * 20 м/с / (10 м/с^2) * 0.5 = 12 c