Пусть MD - высота треугольника AMC, тогда MD - средняя линия треугольника ABH (т.к. М - середина AB и MD||BH), т.е. MD=BH/2=3.
Треугольники HOC и DMC подобны с коэфф. подобия OH/MD=1/3. Значит, OC=СM/3=5/3. По т. Пифагора HC²=OC²-OH²=(5/3)²-1=16/9.
BC=√(HC²+BH²)=√(16/9+6²)=(2√85)/3.
Эта диагональ образует равнобедренный треугольник у которого и второй угол тоже равен 82 градуса.
А меньший угол тогда будет 180 - 82 * 2 = 16 градусов
По условию АВ : AD : AA₁ = 1 : 1 : 2
Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда
АВ = AD = x
АА₁ = 2х
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
DB₁² = AB² + AD² + AA₁²
x² + x² + (2x)² = (2√6)²
2x² + 4x² = 24
6x² = 24
x² = 4
x = 2 (x = - 2 не подходит по смыслу задачи)
АВ = 2, AD = 2, АА₁ = 4.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. В₁D - наклонная, BD - ее проекция, тогда угол между В₁D и плоскостью АВС - ∠В₁DB.
ΔB₁BD:
sin∠B₁DB = BB₁ / B₁D = 4 / (2√6) = 2/√6 = √6/3
∠B₁DB = arcsin (√6/3)