Question

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен 25см. , а вписанной в него окружности---12см. Найти стороны треугольника.

Answer 1

Пусть угол при основании равен α; боковая сторона b; основание a; ну и R = 25; r =12; тогда
b*sin(α) = a/2; b*cos(α) = h; (высота к основанию); S = a*h/2 = b^2*sin(α)*cos(α);
при этом полупериметр p = b + a/2 = b*(1 + cos(α)); S = p*r; 
b^2*sin(α)*cos(α) = b*(1 + cos(α))*r;
по теореме синусов b = 2*R*sin(α); 
2*R*(sin(α))^2*cos(α) = r*(1 + cos(α)); 
2*R*(1 - (cos(α))^2)*cos(α) = r*(1 + cos(α)); 
2*(1 - cos(α))*cos(α) = r/R; вот это квадратное уравнение относительно cos(α); 
Пусть cos(α) = x;
x^2 - x + r/(2R) = 0;
x = 1/2 +- √(1/4 - r/(2R));
это в сущности ответ. Интересно, что получилось 2 решения, и оба "физически" возможны. При r/(2R) = 12/50; возможны 2 случая
1. cos(α) = 3/5; тогда sin(α) = 4/5; b = 50*4/5 = 40; a = 2*b*cos(α) = 80*3/5 = 48;
в этом случае треугольник составлен из двух египетских (24, 32, 40)
2. cos(α) = 2/5; тогда sin(α) = √21/5; b = 50*√21/5 = 10√21; a = 2*b*cos(α) = 8√21;