Фигура такая только одна - равносторонний треугольник. Любая другая фигура не обладает указанным свойством, в силу теоремы о равенстве треугольников по трём сторонам. Если попытаться как-то пристроить к трём точкам четвёртую, то в силу того, что она должна быть на таком же расстоянии по крайней мере от двух, причём двух любых, она не может не совпадать с уже имеющейся.
Но это относится именно к фигуре, поскольку фигура, по определению, - двумерный объект. А вот если рассматривать тела, то таких бесконечно много. Впрочем, бесконечно много их только если рассматривать пространства произвольного числа измерений. В любом пространстве с фиксированным числом измерений такое тело тоже будет единственным. В трёхмерном пространстве это правильный тетраэдр.
То, что такое тело можно построить единственным образом (с точностью до зеркального отражения), можно доказать. Для этого надо в пространстве размерностью N+1 найти точку, равноудалённую от всех точек, принадлежащих пространству размерности N. Например, в обычном трёхмерном пространстве найти точку, равноудалённую от вершин равностороннего треугольника на плоскости. Поскольку в любом евклидовом пространстве расстояние вычисляется по теореме Пифагора, то соответствующая система уравнений, построенная относительно квадрата расстояний, будет линейной: все переменные там будут в первой степени (ещё раз: переменные такой системы - это квадраты от "настоящих" координат; такая замена переменных сильно упрощает вид системы, уравнения становятся первой степени). Как известно, система из N линейно независимых уравнений первой степени с N неизвестными имеет единственное решение. Откуда и следует единственность квадрата расстояния искомой точки от всех уже имеющихся.
А значит, ничего, кроме тетраэдра или его многомерного аналога требуемым свойством обладать не может.
Площадь фигуры в общем случае определяется через обычный интеграл (сумму площадей микроскопических прямоугольников при стремлении их основания к нулю).
Объем фигуры опять же в общем случае вычисляется уже через двойной интеграл (сумму объемов микроскопических параллелепипедов при стремлении площади их основания к нулю). Для простых фигур интегральное исчисление сводится к обычным формулам. Например, площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей, а объем шара - четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на константу Пифагора (число "пи").
В любом ромбе, а также в квадрате (вообще говоря, квадрат - это частный случай ромба), в прямоугольном четырёхугольнике, в любом параллелограмме, любой трапеции, и вообще в любом произвольном четырёхугольнике сумма углов всегда равна 360° (или 2*Пи радиан).
Прежде всего, "пирамида" на английском называется "pyramid".
"Конус" называется "cone".
"Усечённая пирамида" - это "truncated pyramid" или "frustum of a pyramid" или "pyramidal frustum".
"Усечённый конус" - это так же "truncated cone" или "frustum of a cone" или "conical frustum".
Обратите внимание, что мн.число от слова "frustum" - это "frusta" или "frustums", так как это латинское слово.
<hr />
<hr />
Олоид очень интересная фигура. Его впервые придумал и построил Пол Шатц в 1929 году. Но только в последнее время эту фигуру начали внимательно изучать. Она получается из двух окружностей, центры которых лежат на окружностях друг друга. Эти окружности выполняют роль каркаса, на которую как бы натянутая выпуклая пленка.
На вид олоид выглядит как два конуса, соединенные в перпендикулярных плоскостях основаниями. Благодаря такой компоновке фигура Олид может катиться в любую сторону, практически как шар. Да и площадь поверхности этой фигуры равна площади поверхности шара.