Question

Каков алгоритм решения задания 22 (на движение) ОГЭ по математике 2018?

Например, такого

Расстояние между пристанями А и В равно 75 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 44 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Answer 1

В принципе, не такая уж и сложная задача, но без помощи переменной, а в итоге без решения квадратного уравнения не обойтись.

Уж, и не знаю, для чего в условие ввели пункт, что "через час вслед за ним отправилась моторная лодка" - это, на мой взгляд, нисколько не усложняет сути самой задачи, по сравнению с тем, если бы по условию и лодка, и плот отчалили бы одновременно, но тем не менее...

Искомую скорость лодки принимаем за Х. Тогда скорость движения лодки по течению равна ( Х + 4 ), а против течения - ( Х - 4 ).

Сколько времени потребуется лодке на путь от пристани А к В, по течению реки:

75/( Х + 4 ) часов

Сколько времени потребуется лодке на путь от пристани В к А, против течения реки:

75/( Х - 4 ) часов

Т.к. плот начал свой путь на час раньше, а к моменту возврата моторной лодки в пункт А прошёл 44 км, то сама моторная лодка была в пути ( 44/4 - 1 ) часов, следовательно можно составить уравнение:

75/( Х + 4 ) + 75/( Х - 4 ) = ( 44/4 - 1 ) левую часть уравнения приводим к общему знаменателю, правую часть - упрощаем.

[75( Х - 4 ) + 75( Х + 4 )] / [( Х - 4 )( Х + 4 )] = 10

150X / [( Х - 4 )( Х + 4 )] = 10

15X / [( Х - 4 )( Х + 4 )] = 1

15X = ( Х - 4 )( Х + 4 ) - раскрываем скобки, переносим что возможно в одну часть уравнения и находим его корни

X² - 4² - 15X = 0

X² - 15X - 16 = 0

Х = 16 или Х = -1 ( второе не подходит по условию - скорость моторной лодки не м.б. отрицательным числом )

Значит собственная скорость моторной лодки составляет 16 км/ч.

<hr />

Ну, а по этому решению, не сложно составить алгоритм решения подобных задач:

1 вводим переменную Х, обозначающую искомую собственную скорость лодки, читай, в стоячей воде;

2 с помощью переменной Х и скорости течения реки выражаем скорость лодки по течению;

3 с помощью переменной Х и скорости течения реки выражаем скорость лодки против течения;

4 зная расстояние между двумя пунктами и скорости лодки по течению и против течения, выражаем время, затраченное моторной лодкой на путь по течению и обратно;

5 зная расстояние пройденное плотом, время, по истечении которого моторная лодка отправилась в след за плотом и скорость течения реки, снова выражаем время, затраченное моторной лодкой на путь по течению и обратно;

6 составляем уравнение, решив которое находим собственную скорость моторной лодки ( скорость движения моторной лодки в неподвижной воде )

Answer 2

Стандартный алгоритм решения задач на движение по реке:

Собственная скорость (т.е. в стоячей воде, в озере) движения судна (лодки, катера, теплохода и т.п.) v км/ч.

Скорость течения реки (скорость движения плота) u км/ч.

Скорость движения судна по течению (v+u) км/ч; км/ч;

Скорость движения судна против течения (v-u) км/ч;

Если расстояние между пристанями равно S км, то время движения судна по течению t1=S/(v+u) часов, против течения t2=S/(v-u) часов.

Разумеется скорости как и другие величины можно обозначить любыми другими буквами.

Обычно в таких задачах задаётся какое-то условие, связывающее времена t1 и t2 (их сумма или разность.

Далее поэтому условию составляется уравнение, которое обычно преобразуется в уравнение второй степени ("квадратное уравнение". Взял в скобочки, так как лично я считаю такое название неправильным, но ведь "все" так говорят).

<hr />

Конкретно в этой задаче:

Плот прошёл 44 км со скоростью 4 км/ч, значит с момента его старта прошло 44/4=11 часов.

Лодка была в пути на 1 час меньше, т.е. 11-1=10 часов. Итак задано условие:

t1+t2=10.

Ну и подставляем в него нужные выражения:

S/(v+u)+S/(v-u)=10

75/(v+4)+75/(v-4)=10­<wbr />;

75*(v-4)+75*(v+4)=10­<wbr />*(v^2-16);

v^2-15*v-16=0;

v(1)=16, v(2)=-1.

Естественно, из двух корней выбираем тот, при котором задача сохраняет физический смысл, т.е v(1)=16 км/ч.

Ну и стандартная проверка: 75/(16+4)+75/(16-4)=­<wbr />10.

Answer 3

Алгоритм это для компьютеров

Вводим переменные

V_reki =4

S_plota=44

S_AB=75

Delta_T=1

V_lodka=?

Снабжаем алгоритм комментариями

Лодка за время меньшее на Delta_T, преодолела 2*S_AB

При этом

T_vpered=S_AB/(V_lod­<wbr />ka+V_reki)

T_nazad =S_AB/(V_lodka-V_rek­<wbr />i)

T_plota=T_vpered+T_n­<wbr />azad +Delta_T

А с другой стороны

T_plota=S_plota/V_re­<wbr />ki

Избавляемся от промежуточных переменных

S_plota/V_reki =S_AB/(V_lodka+V_rek­<wbr />i) + S_AB/(V_lodka-V_reki­<wbr />)+Delta_T

Приводим к общему знаменателю

S_plota * (V_lodka^2 - V_reki^2) =

=2 * S_AB *V_reki *V_lodka + Delta_T * V_reki* (V_lodka^2 - V_reki^2)

S_plota, Delta_T, V_reki, S_AB известны, а потому подставляем и решаем, означив V_lodka через икс

44 * (x^2 - 16)=2*75*4*x + 1*4*(x^2 - 16)

40 * (x^2 - 16) - 600 * x = 0

на 40 сокращаем

x^2 - 16 - 15 * x=0

x1,2 = (15/2) +- sqrt(225/4 +16) = (15/2) +- sqrt(289)/2 = (15 +- 17)/2

Отрицательный корень отбрасываем, остаётся для скорости лодки 16 км/час

Answer 4

Всё просто:

Скорость плота связана уравнением:

(vп+vр)t=44

Скорость лодки:

vл (t-1) = 150

При этом:

vр=4

Окуда следует система уравнений:

(vп+4)t=44

vл (t-1) = 150

Система уравнений имеет больше неизвестных, чем уравнений..

Отсюда можно заключить о решении в области решений (например графически)