Домножим на 4
cos4x+2=4sin²x+2sin2x
cos4x+2=(1-cos2x)/2+2sin2x
cos4x+2=2-2cos2x+2sin2x
(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)+2(cos2x-sin2x)=0
(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x+2)=0
cos2x-sin2x=0 /cos2x
1-tg2x=0
tg2x=1
2x=π/4+πk
x=π/8+πk/2,k∈z
cos2x+sin2x+2=0
cos²x-sin²x+2sinxcosx+2sin²x+2cos²x=0
sin²x+2sinxcosx+3cos2x=0/cos²x
tg²x+2tgx+3=0
tg2x=a
a²+2a+3=0
D=4-12=-8<0 нет решения
Ответ x=π/8+πk,k∈z
Обычно задания такого типа довольно просто решаются графически.
Заметим, что первое уравнение в системе - уравнение окружности с центром в точке (0;0), где а - радиус окружности в квадрате, а второе уравнение - линейная функция, которую нужно всего лишь немного преобразовать.
x+2y=1
y=(1-x)/2 или y=0.5-0.5x
Сделаем чертёж и обозначим точки пересечения прямой с осями буквами А и В. Точка (0;0) - буква О.
Система имеет одно решение, только когда линейная функция касается этой окружности. Если радиус окружности уменьшать, то решений (пересечений) вовсе и не будет. Если увеличивать, то будет всегда 2 решения.
Заметим, что радиус окружности, проведённый в точку касания - перпендикуляр к касательной. То есть нам осталось всего лишь найти длину высоты ОК в треугольнике, образованном осями координат и касательной к окружности, и возвести её в квадрат.
Найдём гипотенузу АВ:
![AB= \sqrt{1^{2}+ 0.5^{2} }= \sqrt{1.25} = \frac{ \sqrt{5} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=AB%3D+%5Csqrt%7B1%5E%7B2%7D%2B+0.5%5E%7B2%7D++%7D%3D+%5Csqrt%7B1.25%7D++%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B5%7D+%7D%7B2%7D+)
S(Δ<span>AOB) = (0.5*1)/2 = 0.25
</span>S(ΔAOB) = OK*AB/2, откуда OK = 2*S(ΔAOB)/AB = 1/<span>√5
</span>a = OK<span>² = 1/5
Ответ: 1/5.</span>
Вероятность - это отношение благоприятного числа исходов к общему числу исходов.
Общее число исходов - выбор трёх студентов из 30:
![C_{30}^3= \frac{30!}{3!(30-3)!}= \frac{30!}{3!27!}= \frac{28*29*30}{1*2*3}=5*28*29=4060](https://tex.z-dn.net/?f=C_%7B30%7D%5E3%3D+%5Cfrac%7B30%21%7D%7B3%21%2830-3%29%21%7D%3D+%5Cfrac%7B30%21%7D%7B3%2127%21%7D%3D+%5Cfrac%7B28%2A29%2A30%7D%7B1%2A2%2A3%7D%3D5%2A28%2A29%3D4060+++)
Благоприятное число исходов - выбор трёх студентов из числа десяти разрядников
![C_{10}^3= \frac{10!}{3!(10-3)!}= \frac{10!}{3!7!}= \frac{8*9*10}{1*2*3}=120](https://tex.z-dn.net/?f=C_%7B10%7D%5E3%3D+%5Cfrac%7B10%21%7D%7B3%21%2810-3%29%21%7D%3D+%5Cfrac%7B10%21%7D%7B3%217%21%7D%3D+%5Cfrac%7B8%2A9%2A10%7D%7B1%2A2%2A3%7D%3D120+++)
Вероятность события
![P(A)= \frac{120}{4060}= \frac{6}{203} \approx 0,03](https://tex.z-dn.net/?f=P%28A%29%3D+%5Cfrac%7B120%7D%7B4060%7D%3D+%5Cfrac%7B6%7D%7B203%7D+%5Capprox+0%2C03++)