Смотри:
5. Возведём обе стороны уравнения в квадрат.
Имеем: (3x+1)(x-6)=(3x+1)^2. ОДЗ нас писать ни к чему, так как на это уйдет куча времени.
Решаем данное уравнение. Раскрыв скобки получим: 3x^2-18x+x-6=9x^2+6x+1 <=> 9x^2+6x+1=3x^2-18x+x-6 <=> 6x^2+23х+7. D=529-169=361.
х1,2=-23+-19/12 <=> х1=-1/3, х2=-3,5.
Очень ВАЖНО! Так как у нас иррациональное уравнение ПАРНОЙ степени, необходимо выполнить ПРОВЕРКУ! Так как могли появится посторонние корни (после возведения сторон уравнения в квадрат), мы подставляем полученные значения х в исходное уравнение.
Имеем:
1) sqrt{(-3*1/3+1)(-1/3+6}=-1/3*3+1 <=> sqrt{0}=0, 0=0 - равенство верно, значит х=-1/3 подходит;
2) sqrt{(-3,5*3+1)(-3,5-6)}=-3.5*3+1 <=> sqrt{9,5^2}=-9,5 <=> 9,5 не равно -9,5 - равенство неверно, значит х=-3,5 нам не подходит.
Ответ: х=-1/3.
6. Запишем исходное неравенство так x-3-81/x/3<0. Сложив дроби получим x(x-3)-3(x-3)-81/x-3 <=> x^2-3x-3x+-81/x-3<0 <=> x^2-6x-72/x-3<0. Воспользуемся формулой P(x)/Q(x)<0 <=> P(x)*Q(x)<0.
Получим (х-3)(х^2-6х-72)<0. Решим данное неравенство методом интервалов через четыре пункта.
1. у=(х-3)(х^2-6х-72);
2. D(y)=R (так как равенство у нас строгое, у нас нету необходимости записывать ОДЗ для знаменателя, поскольку мы на него домножили числитель, и ноль функции точно будет удовлетворять ОДЗ. Сейчас поймёшь о чем я)
3. у=0, (х-3)(х^2-6х-72)=0. Данное уравнение распадается на совокупность уравнений [х=3, х^2-6х-72=0 <=> D=36+288=361 <=> х1,2=6+-18/2 <=> х1=12, х=-6.
4. Наносим нули функции на вектор (то есть те точки, при которых у=0)
+ + - +
-- —6----3----12----
Определяем значения промежутков, подставив любое значение в пункт 1, узнаем, что нас устраивает только один промежуток - от 3 до 12, выкалывая точки 3 и 12, так как при х=3 или при х=12 выражение будет равно нулю, а у нас равенство строгое, строго меньше нуля.
Ответ: X€(3;12).
