Question

Возможно ли равенство матриц?

Доказать или опровергнуть, что обратная матрица равна транспонированной матрице.

Студент проводил вычисления:

Ему была дана матрица А, из которой он смог получить транспонированную матрицу А и обратную матрицу А. Записывая ответ он приравнял матрицы, потому как не знал, что так делать нельзя.

При проверки работы педагог обратил на это внимание и снизил оценку студенту, но не за грамотность записи и ее доказательства, а за смелость высказывания студентом на эту тему.

Answer 1

Признаться, вот эта фраза

повергает в ступор, потому что студент же видит обе матрицы! Соответственно он видит - не может не видеть, - равны они или нет! И раз приравнял, значит, видит, что они равны, разве нет?

Поэтому отвлечёмся от слепого студента и рассмотрим задачку в общем виде.

Перво-наперво, необходимым условием того, что обратная матрица равна транспонированной, является равенство 1 определителя матрицы (с точностью до знака). Потому что для обратной матрицы определитель равен 1 делить на определитель исходной, а для транспонированной определитель тот же, что у исходной.

И такое, вообще говоря, возможно. Более того, для матрицы, у которых обратная равна транспонированной, существует специальное название: ортогональная матрица. Условием ортогональности матрицы является то, что её строки и столбцы ортонормированы, то есть скалярное произведение строки на любую другую строку равно 0, а на саму себя равно 1.

Как пример можно взять любую матрицу поворота осей координат. Такая матрица ортогональна. Если поворот совместить с отражением, то это тоже будет ортогональная матрица, но её определитель будет равен -1.