Question

Решите неравенство |2x+1|<=|x^2-2x|. решите пожалуйста завтра контрольная не пишите просто ответ, даю 40 баллов ПЛИИИЗ

Answer 1

|2x+1| ≤ |x²-2x|
2|x+0,5| ≤ |x(x-2)| 

-------------0,5---------0---------2---------

1) x≤-0,5   -(2x+1) ≤ x²-2x
                 -2x-1 ≤ x²-2x
                  x²+1 ≥ 0
                  Неравенство верно при любом х∈R
                  Учитывая, что x≤-0,5, получаем  х∈(-∞; -0,5]

2) -0,5 < x ≤ 0   2x+1 ≤ x²-2x
                         x²-4x-1 ≥ 0
                         D=16+4*1=20
                         x₁=(4+√20)/2=(4+2√5)/2=2+√5       
                         x₂=(4-√20)/2=(4-2√5)/2 =2-√5
                         (x-(2+√5))(x-(2-√5)) ≥ 0
                       +                        -                        +
               ------------(2-√5)---------------(2+√5)------------
                Учитывая, что -0,5 < x ≤ 0, получаем х∈(-0,5; 2-√5]

3) 0 < x ≤ 2    2x+1 ≤ -(x²-2x)
                      2x+1 ≤ -x²+2x
                      x²+1 ≤ 0
                      х∈∅, т.к. значение х²+1 неотрицательно при любом х

4)  х>2          2x+1 ≤ x²-2x
                     x²-4x-1 ≥ 0
                    см решение выше в п.2)
                    С учётом того, что x>2, получаем x∈[2+√5; +∞)
Объединяя полученные интервалы получаем ответ:
x∈(-∞; 2-√5] U [2+√5; +∞)