Question

Докажите,что уравнение 5х^6+4х^4+3х^2+2=0 не имеет корней.

Answer 1

$5x^6+4x^4+3x^2+2=0$

$x^2(5x^4+4x^2+3)+2=0$

Проведем замену $x^2=t$

тогда уравнение:

$5t^2+4t+3$

Не имеет действительных решений(как я понял комплексные корни тебя не интересуют).Значит и уравнение:

$5x^4+4x^2+3$

не имеет действительных корней и при подстановке любого значения переменной определяется знак "+" на всем множестве значений.

Значит уравнение принимает вид:

$x^2(5x^4+4x^2+3)=-2$

Или произведение неотрицательного и положительного числа равно отрицательному числу,что невозможно,значит уравнение не имеет действительных корней.

 

Answer 2

x^6, x^4, x^2 имеют чётную степень, а значит всегда являются положительными числами или 0. Сумма положительных чисел всегда больше нуля. Если же x=0, то левая часть равна 2, что противоречит значению правой части.

Значит, все выражение никогда не может быть равно нулю, а значит, не имеет смысла.