В современном русском языке слова Бал, Балет и Балерина не считаются однокоренными, так как в первом выделяется корень БАЛ, во втором корень БАЛЕТ, а в третьем корень БАЛЕРИН-.
Однако, даже не зная о происхождении этих слов, легко заметь сходство как в написании этих слов, так и в их лексическом значение: На балу давали балет, где танцевали балерины.
Все эти слова имеют в своей основе латинский глагол ballare, то есть плясать. От этого глагола были образованы слова ballo, то есть танец, а в последствии Бал, и слово balletto, то есть Балет.
таким образом эти слова в языках, ведущих свое происхождение от латыни оказываются однокоренными, но вот в русском языке к сожалению нет.