![sin(arctg\frac{3}{4})=?](https://tex.z-dn.net/?f=sin%28arctg%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%29%3D%3F)
Обозначим
![x=arctg\frac{3}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3Darctg%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D)
.
По определению функции
![y=arctgx](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Darctgx)
имеем:
![\left \{ {{-\frac{\pi}{2}\ \textless \ arctgx\ \textless \ \frac{\pi}{2}} \atop {tgy=x}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5C+%5Ctextless+%5C+arctgx%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D+%5Catop+%7Btgy%3Dx%7D%7D+%5Cright.+)
.
То есть угол х принадлежит либо 1, либо 4 четвертям
![(-\frac{\pi}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{\pi}{2})](https://tex.z-dn.net/?f=%28-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5C+%5Ctextless+%5C+x%5C+%5Ctextless+%5C+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29)
и
![tgx=tg(arctg\frac{3}{4})=\frac{3}{4}\\\\1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}\; \; \to \; \; 1+(\frac{3}{4})^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}](https://tex.z-dn.net/?f=tgx%3Dtg%28arctg%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%29%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5C%5C%5C%5C1%2Btg%5E2x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2x%7D%5C%3B+%5C%3B+%5Cto+%5C%3B+%5C%3B+1%2B%28%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%29%5E2%3D1%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B16%7D%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B16%7D)
Так как
![x=arctg\frac{3}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=x%3Darctg%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D)
принадлежит 1 или 4 четвертям, то в этих четвертях косинусы углов положительны, значит при извлечении квадратного корня из
![cos^2x](https://tex.z-dn.net/?f=cos%5E2x)
будем брать знак (+).
![\frac{1}{cos^2x}=\frac{25}{16}\; ,\; \; cos^2x=\frac{16}{25}\\\\cosx=+\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5} \\\\sinx=tgx\cdot cosx,\; tak\; kak\; \; tgx\cdot cosx=\frac{sinx}{cosx}\cdot cosx=sinx\\\\sinx=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}\\\\sin(arctg\frac{4}{5})=\frac{3}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2x%7D%3D%5Cfrac%7B25%7D%7B16%7D%5C%3B+%2C%5C%3B+%5C%3B+cos%5E2x%3D%5Cfrac%7B16%7D%7B25%7D%5C%5C%5C%5Ccosx%3D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B16%7D%7B25%7D%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D+%5C%5C%5C%5Csinx%3Dtgx%5Ccdot+cosx%2C%5C%3B+tak%5C%3B+kak%5C%3B+%5C%3B+tgx%5Ccdot+cosx%3D%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bcosx%7D%5Ccdot+cosx%3Dsinx%5C%5C%5C%5Csinx%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5C%5C%5C%5Csin%28arctg%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%29%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D)
Можно было найти sinx из формулы тригонометрической единицы
![sin^2x=1-cos^2x\; \; \to \; \; sinx=\pm \sqrt{1-cos^2x},](https://tex.z-dn.net/?f=sin%5E2x%3D1-cos%5E2x%5C%3B+%5C%3B+%5Cto+%5C%3B+%5C%3B+sinx%3D%5Cpm+%5Csqrt%7B1-cos%5E2x%7D%2C)
но тогда надо пояснить, что угол х находится в 1 четверти и надо брать знак (+) перед корнем, так как синусы углов 1 четверти больше 0. Это можно пояснить так:
угол принадлежит либо 1, либо 3 четверти. А по определению арктангенса
угол
![-\frac{\pi }{2} \ \textless \ x=arctg\frac{3}{4}\ \textless \ \frac{\pi}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+-%5Cfrac%7B%5Cpi+%7D%7B2%7D+%5C+%5Ctextless+%5C+x%3Darctg%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5C+%5Ctextless+%5C++%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+)
, то есть это угол 1 или 4 четверти. Значит , х принадлежит 1 четверти, где синусы углов положительны.