1) Нормальный вектор заданной плоскости является направляющим вектором искомой прямой.
Получаем уравнение прямой через точку А(1; 2; 3) с направляющим вектором (3; -4; 1):
(x - 1)/3 = (y - 2)/(-4) = (z - 3)/1.
2) Находим точку пересечения прямых 4х + у - 13 = 0 и 8х - 3у -1 = 0.
Метод подстановки: у = 13 - 4х, 8х -3(13 - 4х) - 1 = 0,
8х - 39 + 12х - 1 =- 0,
20х = 40,
х = 40/20 = 2, у = 13 - 4*2 = 5. Точка А(2; 5).
Заданная параллельная прямая имеет те же коэффициенты, что и прямая 3х + 4у - 5 = 0, только коэффициент С другой.
Подставим найденные координаты точки А(2; 5) в такое уравнение.
3*2 + 4*5 + С = 0, отсюда С = -26.
Ответ: уравнение 3х + 4у - 26 = 0.
3) По уравнениям заданных прямых имеем точки на них.
А(1; -2; -1) и В(0; 1; -2). Вектор АВ(-1; 3; -1).
Кроме того, имеем направляющий вектор прямых n = (3; -5; 4).
Нормальный вектор N искомой плоскости будет перпендикулярен векторам АВ и n. Найдём его как векторное произведение.
i j k | i j
-1 3 -1 | -1 3
3 -5 4 | 3 -5 = 12i - 3j + 5k + 4j - 5i - 9k =
= 7i + 1j - 4k. Вектор N = (7; 1; -4).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0
Подставим данные и упростим выражение:
7 (x - 1) + 1 (y - (-2) + (-4)(z - (-1)) = 0
7x + y - 4z - 9 = 0 .
4) Дано уравнение 4x² + 9y² - 40x + 36y + 100 = 0.
Выделим полные квадраты.
(4x² - 40x + 100) - 100 + (9y² + 36y + 36) - 36 + 100 = 0,
4(x² - 10x + 25) + 9(y² + 4y + 4) - 36 = 0,
4(x - 5)² + 9(y + 2)²) = 36.
Разделим обе части на 36:
(4(x - 5)²/36) + (9(y + 2)²/36) = 1.
((x - 5)²/9) + ((y + 2)²/4) = 1.
Это уравнение эллипса. Приведём его к каноническому виду:
(x - 5)²/3²) + ((y + 2)²/2²) = 1.
Рисунок прилагается.
